Составители:
Рубрика:
iae Eae aHe Va te
mn n
iE E t
nn
iE E t
mn m nm
iE E t
nm m
iE E t
nm nm nm nm
h
hh h h
δδ ω
&
cos
() () () ()−− − −
+=+ ,
здесь использованы следуюшие обозначения:
VV
HHE
nm n m
nm n m m nm
=< >
=< >=
ϕϕ
ϕϕ δ
|
$
|
|
$
|
0
Окончательно получим:
ia V e t
nnm
m
iE E t
nm
h
h
&
cos
()
=
∑
−
ω
(3.6)
Если учесть, что
cos
ω
ωω
t
ee
it it
=
+
−
2
, а члены вида
e
it
nm
()
ωω
+
, где
ω
nm
nm
EE
=
−
h
, в
(3.6) будут очень сильно осциллировать, то наибольший вклад в (3.6) будут вносить
слагаемые вида Vae
nm m
it
nm
()
ωω
−
. Уравнение (3.6) будем решать методом последо-
вательных приближений.
Пусть в момент времени t=0 система с достоверностью находилась на уровне m, т.е.
с
m
(0)=1, c
n
(0)=0. Тогда |с
n
(t)|
2
- является вероятностью перехода с уровня m на уровень
n согласно определению (3.1)
ic V e
nnm
it
nm
h
&
()
=
−
ωω
, тогда
c
i
Ve dt
V
e
nnm
it
t
nm
nm
it
nm nm
=− =
−
−
−−
∫
hh
() ()
()
()
ωω ωω
ωω
0
1.
Тогда вероятность перехода за время действия t постоянного возмущения будет:
Pcc
V
ee
nm n m
nm
nm
it it
nm nm
=⋅=
−
−−
•
−−−
||
()
()( )
() ()
2
22
11
h
ωω
ωω ωω
P
V
t
V
t
t
t
nm
nm
nm
nm nm
=
−
−
⋅= ⋅ ⋅
4
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
||
()
sin ( )
||
sin ( )
()
hh
ωω
ωω
Δ
Δ
.
Таким образом, вероятность перехода определяется функцией
sin
()
2
2
2
2
Δ
Δ
⋅
⋅
t
t
, где Δ=ω
nm
-ω.
Можно доказать /8/, что при больших временах t имеет место следующая формула
lim
sin
()
t
t
t
→∞
=
2
2
α
πα
δα
(3.7)
i ( En − Em ) t i ( En − Em ) t i ( En − Em ) t i ( En − Em ) t
i h δ m n a& n e h
+ En an e h
δ m n = am Hn m e h
+ Vn m a m cos ω t e h
,
здесь использованы следуюшие обозначения:
Vn m =< ϕ n |V$ |ϕ m >
H n m =< ϕ n | H$ 0 |ϕ m >= E mδ n m
Окончательно получим:
i ( En − Em ) t
i h a& n = ∑ Vn m e h
cos ω t (3.6)
m
e i ω t + e −i ω t i ( ω +ω ) t E − Em
Если учесть, что cos ω t = , а члены вида e n m , где ω n m = n ,в
2 h
(3.6) будут очень сильно осциллировать, то наибольший вклад в (3.6) будут вносить
i ( ω n m −ω ) t
слагаемые вида Vn m a m e . Уравнение (3.6) будем решать методом последо-
вательных приближений.
Пусть в момент времени t=0 система с достоверностью находилась на уровне m, т.е.
сm(0)=1, cn(0)=0. Тогда |сn(t)|2 - является вероятностью перехода с уровня m на уровень
n согласно определению (3.1)
i ( ω n m −ω ) t
i h c&n = Vn m e , тогда
i
t
i ( ω −ω ) t Vn m i ( ω −ω ) t
cn = − Vn m ∫ e n m dt = (e n m − 1) .
h 0
h(ω − ω n m )
Тогда вероятность перехода за время действия t постоянного возмущения будет:
•
|Vn m |2 i ( ω n m −ω ) t − i ( ω n m −ω ) t
Pn m = c ⋅ cm = (e − 1)(e − 1)
h (ω − ω n m )
n 2 2
2 Δ
4|Vn m |2 ω nm − ω |Vn m |2 sin ( 2 t ) 2
Pn m = sin 2 ( ⋅t ) = ⋅ ⋅t .
h (ω − ω n m )
2 2
2 h2 Δ 2
( t)
2
Δ ⋅t
sin 2
Таким образом, вероятность перехода определяется функцией 2 , где Δ=ω -ω.
nm
Δ ⋅t 2
( )
2
Можно доказать /8/, что при больших временах t имеет место следующая формула
sin 2 α t
lim = δ (α ) (3.7)
t →∞ π tα 2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
