Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 13 стр.

         Ответ: ( 2,   0.5, 1, 2, 3)
         11. Методом прогонки решить систему
         ⎧2 x1 + x2                              = − 10,
         ⎪
         ⎪⎪2 x1 + 9 x2 + 2 x3                    = − 26,
          ⎨       4 x2 + 17 x3 − 4 x4            = − 16,
          ⎪                4 x3 + 15 x4 − 8 x5   = − 2,
          ⎪
          ⎪⎩                       2 x4 + 3 x5   = 16.
         Ответ: ( −4, − 2, 0, 2, 4 )




             Методы, основанные на разложении матрицы коэффициентов.
      Такие методы основаны на представлении матрицы составленной из
коэффициентов СЛАУ в форме произведения треугольных матриц. Это позволяет
свести решение заданной системы к последовательному решению двух систем с
треугольными матрицами, что является задачей более простой, так как в них
неизвестные находятся последовательно. Иногда для придания вычислениям
единообразия вводят еще диагональную матрицу.

                                1.5 Метод квадратного корня
                                (случай эрмитовой матрицы)
         Итак, рассмотрим систему ЛАУ, где матрица A является эрмитовой
                                            Ax = f .                         (7)

      Найдем такую правую треугольную матрицу S и диагональную матрицу D ,
элементы которой равны 1 или –1, чтобы A имела представление

                                           A = S ∗ DS ,
                 ∗
где матрица S является cопряженной по отношению к матрице S .

      ⎛ s11 s12        K s1n ⎞             ⎛ d11 0            K  0 ⎞
      ⎜ 0 s            K s2 n ⎟⎟           ⎜ 0 d              K 0 ⎟⎟
   S =⎜      22
                                 ,       D=⎜     22
      ⎜K K             K K⎟                ⎜K K               K K⎟
      ⎜⎜                       ⎟           ⎜⎜                         ⎟
       ⎝ 0   0         K snn ⎟⎠             ⎝ 0  0            K d nn ⎟⎠
      Если матрицы S и D найдены, то заданная система (7) может быть решена
следующим путем:
                                                   (      )
                                 Ax = S * DS x = S *D S x = By = f ,
     *
где S D = B есть нижняя треугольная матрица и y = Sx – вспомогательный вектор.
      Решение системы (7) равносильно решению двух треугольных систем
                                        By = f         и Sx = y
         Общие расчетные формулы.

                                            ⎛       i −1      ⎞
                                 dii = sign ⎜ aii − ∑ sli dll ⎟
                                                         2
                                                                             (8)
                                            ⎝       l =1      ⎠
                                                                                 13