Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

14
1
2
1
2
1
i
ii ii li ll
l
sa sd
−
=
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑
(9)
1
1
i
ij li lj ll
l
ij
ii ii
a ssd
s
sd
−
=
−
=
∑
, при ij
<
(10)
По формулам (8)–(10) находятся рекуррентно все ненулевые элементы матриц
D и S .
Условием возможности нахождения
ij
s
является неравенство 0
ii
s ≠ .
Замечание: Алгоритм
*
SDS– разложения может оказаться численно
неустойчивым, гарантировать устойчивость алгоритма можно в двух случаях – для
положительно определенных матриц А и матриц с диагональным преобладанием.
1.6 Частный случай метода квадратного корня
(случай симметричной матрицы)
Рассматриваем область вещественных чисел. Пусть матрица
A
системы (7) –
положительно определенная.
Идея метода:
Метод основан на разложении матрицы
A
на множители,
T
A
TT
=
, (11)
где
11 12 1 11
22 2 12 22
12
00
00
,
00
T
m
m
mm m m mm
tt t t
tt tt
TT
tttt
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟
==
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
KK
KK
KKKK KKKK
KK
Решение системы (7) сводится к решению двух систем с треугольными
матрицами:
,
T
Ty f Tx y
=
= (12)
Прямой ход:
Перемножая матрицы
T
T и T , и приравнивая матрице
A
, из (11) получим
следующие формулы для определения
ij
t 
                                                                      1
                                     ⎛       i −1                ⎞        2
                               sii = ⎜ aii − ∑ sli dll
                                                  2
                                     ⎜                           ⎟⎟                   (9)
                                     ⎝       l =1                 ⎠
                                        i −1
                               aij − ∑ sli slj dll
                                        l =1
                       sij =                           ,    при               i< j   (10)
                                     sii dii
     По формулам (8)–(10) находятся рекуррентно все ненулевые элементы матриц
D и S.
     Условием возможности нахождения sij является неравенство sii ≠ 0 .
                                    *
      Замечание: Алгоритм S DS – разложения может оказаться численно
неустойчивым, гарантировать устойчивость алгоритма можно в двух случаях – для
положительно определенных матриц А и матриц с диагональным преобладанием.

                 1.6 Частный случай метода квадратного корня
                        (случай симметричной матрицы)
      Рассматриваем область вещественных чисел. Пусть матрица A системы (7) –
положительно определенная.
      Идея метода:
      Метод основан на разложении матрицы A на множители,

                                               A = T TT ,                            (11)
      где

      ⎛ t11 t12   K t1m ⎞                   ⎛ t11            0   K 0 ⎞
      ⎜0 t        K t2 m ⎟⎟                 ⎜t              t22 K 0 ⎟⎟
   T =⎜                                  T =⎜
             22                           T     12
                            ,
      ⎜K K        K K ⎟                     ⎜K               K K K ⎟
      ⎜⎜                  ⎟                 ⎜⎜                           ⎟
       ⎝0 0       K tm m ⎟⎠                  ⎝ t1m          t2 m K tm m ⎟⎠
      Решение системы (7) сводится к решению двух систем с треугольными
матрицами:

                                  T T y = f , Tx = y                                 (12)
      Прямой ход:
                                T
      Перемножая матрицы T и T , и приравнивая матрице A , из (11) получим
следующие формулы для определения tij




                                                                                      14

Страницы