Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 18 стр.

        ⎛ b11 0      0      K  0 ⎞                      ⎛ 1 c12 K c1n ⎞
        ⎜b     b     0      K 0 ⎟⎟                      ⎜0 1 K c ⎟
    B = ⎜ 21 22                      ,               C =⎜          2n ⎟
                                                                        .
         ⎜K K K             K K⎟                        ⎜K K K K ⎟
        ⎜⎜                         ⎟                    ⎜             ⎟
         ⎝ bn1 bn 2 bn3     K bnn ⎟⎠                    ⎝0 0 0 1 ⎠
      Тогда элементы bij и cij будут определяться по формулам

                             bi1 = ai1,
                                              j −1                                  (16)
                             bij = aij − ∑ bik ckj        (i ≥ j > 1)
                                              k =1

      и
                                   a1 j
                          c1 j =          ,
                                   b11
                                                                                    (17)
                                        i −1
                                1⎛                ⎞
                          cij = ⎜ aij − ∑ bik ckj ⎟ (1 < i < j )
                               bii ⎝    k =1      ⎠
      Отсюда искомый вектор x может быть вычислен из цепи уравнений
                                      By = f ,          Cx = y                      (18)

      Так как матрицы B и C треугольные, то система (18) легко решается:
                            y1 = f1 b11,
                                 ⎛      i −1     ⎞                                  (19)
                            yi = ⎜ fi − ∑ bik yk ⎟ bii           (i > 1)
                                 ⎝      k =1     ⎠

                               xn = yn ,
                                                n                                   (20)
                               xi = yi −       ∑ cik xk    (i < n).
                                              k =i +1

      Из формулы (19) видно, что числа                     yi выгодно вычислять вместе с
коэффициентами cij . Эта схема вычислений называется схемой Холецкого.


                                     Упражнения
       Методом квадратных корней решить системы уравнений Ax = f . Вычисления
вести с пятью знаками после запятой.
                ⎛ 3,1 1,5 1,0 ⎞           ⎛10,83 ⎞
      1.   A = ⎜⎜ 1,5 2,5 0,5 ⎟⎟ ,   f = ⎜⎜ 9, 20 ⎟⎟ .
                ⎜1,0 0,5 4,2 ⎟            ⎜ 17,10 ⎟
                ⎝              ⎠          ⎝        ⎠
      Ответ: указаны точные значения x1 = 1,3; x2 = 2,2; x3 = 3,5.




                                                                                      18