Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 20 стр.

             ⎛ 2 −1 4              −3   1⎞          ⎛ 11 ⎞
             ⎜ −1 1 2              1 3⎟    ⎟        ⎜14 ⎟
             ⎜                                      ⎜ ⎟
      3. A = ⎜ 4    2 3            3 −1 ⎟ ,      f =⎜ 4 ⎟.
             ⎜                             ⎟        ⎜ ⎟
             ⎜ −3 1 3              2 4⎟             ⎜ 16 ⎟
             ⎜ 1 3 −1              4 4 ⎟⎠           ⎜ 18 ⎟
             ⎝                                      ⎝ ⎠
      Ответ: x1 = 1; x2 = 2;        x3 = 1; x4 = −1; x5 = 4.



                               2. Приближенные методы.
       Метод называется приближенным, если при точном выполнении всех
требуемых действий и при точных коэффициентах мы получаем, как правило, лишь
приближенный результат.
       Впрочем, практически и при применении точного метода результат оказывается
также приближенным по двум причинам: во-первых, коэффициенты уравнений обычно
бывают приближенными числами; во-вторых, промежуточные вычисления на практике
обычно невозможно выполнять с полной точностью. Значит, погрешность
окончательного результата складывается из неустранимой погрешности задания
исходных данных (коэффициентов) и погрешностей округления.
       В случае применения приближенного метода на окончательный результат
влияет всегда погрешность метода, также на практике обычно имеет место
неустранимая погрешность в задании коэффициентов и погрешность округления в
промежуточных действиях.
       В данном разделе рассматриваются следующие приближенные методы: метод
простой итерации, метод Зейделя, метод релаксаций.
       Итерационные методы дают возможность найти решение системы, как предел
последовательных приближений, по предыдущим (уже найденным) приближениям к
решению строятся следующие более точные приближения.
       Если в точных методах ошибка в вычислениях ведет к ошибке в результате, то в
случае сходящегося итерационного процесса ошибка в каком-то приближении
исправляется в последующих вычислениях, и такое исправление требует, как правило,
только несколько лишних шагов единообразных вычислений. Итерационный метод,
для того чтобы начать по нему вычисления, требует знания одного или нескольких
начальных приближений к решению.
       Условия и скорость сходимости каждого итерационного процесса существенно
зависят от свойств уравнений, то есть от свойств матрицы системы, и от выбора
начальных приближений.


                             2.1 Метод простой итерации.
      Одношаговый линейный стационарный итерационный процесс называется
методом простой итерации (МПИ).
      Пусть дана система ЛАУ Ax = f с неособенной матрицей. В методе простой
итерации ее предварительно приводят к виду
                                        x = Bx + c ,                                     (1)
                                                       (0)
      Предположим, что известно приближение x                = ( x1(0) ,K, xn(0) ) к точному
решению    x* = ( x1* ,K, xn* )   системы. Все следующие приближения определим
правилом

                                                                                         20