Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

21
(1) ()
,0,1,2,
kk
xBxck
+
=+=K (2)
Если последовательность приближений
()k
x
сходится к некоторому
предельному вектору
*
x
, то он и будет решением системы. Действительно, если в
равенстве (2) перейти к пределу k →∞, считая, что
() *k
x
x→ , то в пределе получим
**
x
Bx c=+.
Условия сходимости последовательности
()k
x
:
Теорема 1. Для того чтобы последовательность приближений
()k
x
сходилась,
достаточно, чтобы все собственные значения матрицы В были по модулю меньше
1:
1( 1,2, ,)
i
in
λ
<
= K (3)
Доказательство:
Найдем выражение любого приближения
()k
x
через
0
x
:
(
()
( ) ( 1) ( 2) 2 ( 2)
(0) 1
kk k k
kk
x
Bx c B Bx c c B x E B c
Bx E B B c
−− −
−
⎡⎤
=+= ++= ++=
⎣⎦
=++++
KK
(*)
Отсюда и из (3) следует с учетом теоремы о сходимости ряда матричной
геометрической прогрессии
1
сразу следует, что при k →∞ 0
k
B
→ и
()
1
12k
E
BBEBB EB
−
−
++ + →++ + = −KK
,
откуда
()
1
() *k
x
EB cx
−
→− =
#
Что касается необходимости условия (3), то ответ на такой вопрос дает
Теорема 2. Если требовать, чтобы последовательность
()k
x
сходилась к
*
x
при любом начальном приближении
(0)
x
, то условие (3) является и необходимым.
Доказательство:
Пусть для всякого начального приближения
(0)
x
будет
() *k
x
x→ . Имеем
(
(
(
(
* () * (1) * (1) * (0)kkkk
x
xBxcBx cBxx Bxx
−−
− = +− += − == −K
При
k →∞ разность
*()
0
k
x
x−→, поэтому последний член цепи равенства
должен стремиться к нулю, каким бы ни был вектор
*(0)
x
x
−
. Отсюда следует, что
0
k
B
→
, последнее же будет лишь в том случае, когда верно неравенство (3) (см.
лемму
2
).
#
1
Теорема: Для того чтобы ряд
2 m
E
AA A
+
+++ +KK(матричная
геометрическая прогрессия) сходился, необходимо и достаточно, чтобы все
собственные значения матрицы А были по модулю меньше единицы. При выполнении
этого условия матрица Е-А имеет обратную и верно равенство
()
1
2 m
E
AA A EA
−
=+ + + + = −KK
2
Лемма Для стремления
m
A
к нулю при m →∞, необходимо и достаточно,
чтобы все собственные значения матрицы А по модулю были меньше единицы.
                                 x ( k +1) = Bx ( k ) + c, k = 0,1, 2,K                                                                    (2)

      Если     последовательность              приближений                    x(k )           сходится                   к       некоторому
                             *
предельному вектору x , то он и будет решением системы. Действительно, если в
                                                                                   (k )
равенстве (2) перейти к пределу k → ∞ , считая, что x                                     → x* , то в пределе получим
x* = Bx* + c .
                                                                       (k )
      Условия сходимости последовательности x                                 :
                                                                                                                             (k )
     Теорема 1. Для того чтобы последовательность приближений x     сходилась,
достаточно, чтобы все собственные значения матрицы В были по модулю меньше 1:
                                       λi < 1 (i = 1,2,K, n)                                                                               (3)

      Доказательство:
                                                                       (k )                        0
      Найдем выражение любого приближения x                                       через x :

          x ( k ) = Bx ( k −1) + c = B ⎡⎣ Bx ( k −2) + c ⎤⎦ + c = B 2 x ( k −2) + ( E + B ) c =
                                                                                                                                           (*)
          K= B x  k (0)
                             (
                            + E + B +K+ B              k −1
                                                              )c
      Отсюда и из (3) следует с учетом теоремы о сходимости ряда матричной
                                                                                                       k
геометрической прогрессии 1 сразу следует, что при k → ∞ B → 0 и
                                                                              −1
    E + B + K + B k −1 → E + B + B 2 + K = ( E − B ) ,
                                     −1
      откуда x
                 (k )
                        → ( E − B ) c = x*                         #
      Что касается необходимости условия (3), то ответ на такой вопрос дает

                                                                                                                  (k )                      *
      Теорема 2. Если требовать, чтобы последовательность x                                                              сходилась к x
                                                (0)
при любом начальном приближении x                     , то условие (3) является и необходимым.
      Доказательство:
                                                                              (0)                          (k )
      Пусть для всякого начального приближения x                                    будет x                       → x* . Имеем

                        (        ) (                      ) (
      x* − x ( k ) = Bx* + c − Bx ( k −1) + c = B x* − x ( k −1) = K = B k x* − x (0)          )                             (         )
                                       *       (k )
      При k → ∞ разность x − x      → 0 , поэтому последний член цепи равенства
                                                   *    (0)
должен стремиться к нулю, каким бы ни был вектор x − x . Отсюда следует, что
B k → 0 , последнее же будет лишь в том случае, когда верно неравенство (3) (см.
лемму2).        #

                                                                                          2                        m
      1
         Теорема: Для того чтобы ряд E + A + A + K + A + K (матричная
геометрическая прогрессия) сходился, необходимо и достаточно, чтобы все
собственные значения матрицы А были по модулю меньше единицы. При выполнении
этого условия матрица Е-А имеет обратную и верно равенство
                                                              −1
       E = A + A 2 + K + Am + K = ( E − A )

                                           m
      2
       Лемма Для стремления A к нулю при m → ∞ , необходимо и достаточно,
чтобы все собственные значения матрицы А по модулю были меньше единицы.

                                                                                                                                           21

Страницы