Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

22
Применение теорем 1 и 2 требует знания границ собственных значений
матрицы
B
, нахождение их часто затруднено. Укажем более простые, но только
достаточные признаки сходимости.
Теорема 3. Для того чтобы последовательность приближений
()k
x
в методе
простой итерации сходилась, достаточно, чтобы какая-либо норма матрицы
B
была
меньше единицы.
Доказательство:
При доказательстве используем лемму: Модули собственных значений
матрицы не превосходят любой из ее норм.
Если 1B < , то по лемме все собственные значения матрицы
B
по модулю
меньше единицы, и по теореме 1 последовательность
()k
x
сходится.
#
Непосредственным следствием теоремы 3 и равенств
I
1
max
n
ij
i
j
B
b
=
=
∑
;
II
1
max
n
ij
j
i
B
b
=
=
∑
,
определяющих кубическую и октаэдрическую норму матрицы, является
Теорема 4.
Последовательность
()k
x
в м-де простой итерации сходится , если
для матрицы В выполняется одно из неравенств:
1)
1
1(1,2,,),
n
ij
j
bin
α
=
≤< =
∑
K (4)
2)
1
1(1,2,,).
n
ij
i
bjn
β
=
≤< =
∑
K (5)
Для многих приложений важно знать, какой является скорость сходимости
() *k
x
x→ , и уметь оценить погрешность
*()k
x
x
замены точного решения
*
x
системы приближением
()k
x
.
Оценка погрешности приближенного решения
()k
x
дается одной из следующих
формул:
() () ( 1)
1,2, ,
max
1
kkk
ii j j
jn
xx x x
α
α
−
=
−≤ −
−
K
, (4`)
если выполнено (4). И
() () ( 1)
1
1
n
kkk
ii j j
j
xx x x
β
β
−
=
−≤ −
−
∑
, (5`)
если выполнено (5). Эти оценки можно еще усилить соответственно так:
() () ( 1)
max max
1
kkk
ii i i
xx x x
α
α
−
−≤ −
−
(4``)
или
() () ( 1)
11
1
nn
kkk
ii i i
ii
xx x x
β
β
−
==
−≤ −
−
∑∑
(5``)
Процесс итерации заканчивают, когда указанные оценки свидетельствуют о
достижении заданной точности. 
      Применение теорем 1 и 2 требует знания границ собственных значений
матрицы B , нахождение их часто затруднено. Укажем более простые, но только
достаточные признаки сходимости.
                                                                                                             (k )
      Теорема 3. Для того чтобы последовательность приближений x      в методе
простой итерации сходилась, достаточно, чтобы какая-либо норма матрицы B была
меньше единицы.
      Доказательство:
      При доказательстве используем лемму:       Модули собственных значений
матрицы не превосходят любой из ее норм.
      Если B < 1 , то по лемме все собственные значения матрицы B по модулю
                                                                                           (k )
меньше единицы, и по теореме 1 последовательность x  сходится.                                               #
     Непосредственным следствием теоремы 3 и равенств
                                                           n                                           n
                                  B I = max ∑ bij ;                              B   II
                                                                                          = max ∑ bij ,
                                                  i                                               j
                                                           j =1                                       i =1
определяющих кубическую и октаэдрическую норму матрицы, является
                                                                  (k )
      Теорема 4. Последовательность x     в м-де простой итерации сходится , если
для матрицы В выполняется одно из неравенств:
                 n
           1)   ∑ bij   ≤α <1         (i = 1,2,K, n),                                                            (4)
                j =1
                 n
           2)   ∑ bij   ≤ β <1        ( j = 1,2,K, n).                                                           (5)
                i =1
           Для многих приложений важно знать, какой является скорость сходимости
    (k )
x    → x* , и уметь оценить погрешность x* − x ( k ) замены точного решения x*
                        (k )
системы приближением x .
                                                     (k )
      Оценка погрешности приближенного решения x          дается одной из следующих
формул:
                                                    α
                            xi − xi ( k ) ≤                max x j ( k ) − x j ( k −1) ,                               (4`)
                                                  1 − α j =1,2,K,n
если выполнено (4). И

                                                              β       n
                                 xi − xi   (k )
                                                      ≤
                                                          1− β
                                                               ∑ x j ( k ) − x j ( k −1) ,                             (5`)
                                                                      j =1

если выполнено (5). Эти оценки можно еще усилить соответственно так:
                                                                α
                           max xi − xi ( k ) ≤                     max xi ( k ) − xi ( k −1)                           (4``)
                                                               1−α
                              n
                                                                  β          n
       или                   ∑ xi − xi        (k )
                                                          ≤
                                                               1− β
                                                                    ∑ xi ( k ) − xi ( k −1)                            (5``)
                             i =1                                         i =1

      Процесс итерации заканчивают, когда указанные оценки свидетельствуют о
достижении заданной точности.



                                                                                                                         22

Страницы