Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

23
Теорема 5.
Если какая-либо норма матрицы
B
, согласованная с рассматриваемой нормой
вектора
x
, меньше единицы, то верна следующая оценка погрешности приближения
в методе простой итерации:
*() (0)
1
1
kk
k
x
xBx Bc
B
−≤ +
−
(6)
Док-во:
Для
()k
x
в доказательстве теоремы (1) выше дано выражение (*), и так как
1B < , то
(
)
*2
x
EBB c=+++K . Поэтому
(
)
*() 1 (0)kkk k
x
xBB cBx
+
−=+ + −K
и, стало быть,
(
)
1
*() (0) (0)
1
1
kk k k k
k
x B B c Bx Bx Bc
B
+
−≤ + + + = +
−
K .#
Часто за
(0)
x
принимают вектор c . В этом случае оценка (6) немного
упростится:
1
*()
1
1
k
k
x
xBc
B
+
−≤
−
.
МПИ в координатной форме имеет вид:
(1) () () ()
1111122 1 1
(1) () () ()
2211222 2 2
(1) () () ()
11 22 2
....................................................................
kkk k
nn
kkk k
nn
kkk k
nn nnnn
xbxbx bxc
x
bx bx bx c
x
bx bx bx c
+
+
+
⎧
=+ ++ +
⎪
=+ ++ +
⎪
⎨
⎪
⎪
=+ ++ +
⎩
K
K
KK
(7)
Покажем на примерах два способа приведения исходной системы к виду (1)
Пример 1. Решить систему методом простой итерации
12 3 4
1234
12 34
123 4
20 2 0,5 14,1
210 2 15
3153 25,7
42 24 38,8
xx x x
xxxx
xx xx
xxx x
++ + =
⎧
⎪
+++=
⎪
⎨
++ +=
⎪
⎪
+++ =
⎩
Решение:
В исходной системе уравнений диагональные коэффициенты заметно
превосходят остальные. Чтобы привести систему к виду (1), поделим уравнения на
диагональные коэффициенты и решим каждое из уравнений относительно полученных
на диагонали неизвестных с коэффициентом
1
. 
       Теорема 5.
      Если какая-либо норма матрицы B , согласованная с рассматриваемой нормой
вектора x , меньше единицы, то верна следующая оценка погрешности приближения
в методе простой итерации:
                                                              k               1           k
                                    x* − x ( k ) ≤ B              x (0) +        B            c                     (6)
                                                                            1− B
       Док-во:
               (k )
       Для x          в доказательстве теоремы (1) выше дано выражение (*), и так как
                      (
 B < 1 , то x* = E + B + B 2 + K c . Поэтому         )
                                    x* − x ( k )   = (B   k
                                                                             )
                                                              + B k +1 + K c − B k x (0)
и, стало быть,

 x* − x ( k ) ≤ B(        k
                              + B
                                       k +1
                                                   )
                                              +K c + B
                                                                    k
                                                                        x (0) = B
                                                                                     k
                                                                                          x (0) +
                                                                                                      1
                                                                                                    1− B
                                                                                                         B
                                                                                                             k
                                                                                                                 c .#

                              (0)
      Часто за x                    принимают вектор c . В этом случае оценка (6) немного
упростится:
                                                                    1        k +1
                                              x* − x ( k ) ≤           B            c .
                                                                  1− B
       МПИ в координатной форме имеет вид:

                      ⎧ x1( k +1) = b11 x1( k ) + b12 x2( k ) + K + b1n xn ( k ) + c1
                      ⎪ ( k +1)
                      ⎪ x2        = b21 x1( k ) + b22 x2( k ) + K + b2 n xn ( k ) + c2
                      ⎨                                                                                             (7)
                      ⎪....................................................................
                      ⎪ ( k +1)
                      ⎩ xn        = bn1 x1( k ) + b22 x2( k ) + KK + bnn xn ( k ) + cn
       Покажем на примерах два способа приведения исходной системы к виду (1)

       Пример 1.              Решить систему методом простой итерации
       ⎧20 x1 + x2 + 2 x3 + 0,5 x4 = 14,1
       ⎪2 x + 10 x + x + 2 x = 15
       ⎪ 1          2    3      4
       ⎨
       ⎪ x1 + 3 x2 + 15 x3 + 3 x4 = 25,7
       ⎪⎩4 x1 + 2 x2 + x3 + 24 x4 = 38,8
       Решение:
       В исходной системе       уравнений диагональные коэффициенты заметно
превосходят остальные. Чтобы привести систему к виду (1), поделим уравнения на
диагональные коэффициенты и решим каждое из уравнений относительно полученных
на диагонали неизвестных с коэффициентом 1 .




                                                                                                                    23

Страницы