Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 25 стр.

                  1
          x1(1) =   (14,1 − 1,5 − 3, 42 − 0,81) ≈ 0,42
                 20
                  1
          x2(1) = (15 − 1, 44 − 1,71 − 3, 24 ) ≈ 0,86
                 10
                  1
          x3(1) = ( 25,7 − 0,72 − 4,5 − 4,86 ) ≈ 1,04
                 15
                  1
          x4(1) = ( 38,8 − 2,88 − 3 − 1,71) ≈ 1,30
                 24

      при k = 2

x1(2) =
         1
        20
             (14,1 − x    2
                              (1)
                                    − 2 x3(1) − 0,5 x4(1) =    )   1
                                                                   20
                                                                      (14,1 − 0,86 − 2,08 − 0,65) ≈ 0,53
x2(2) =
         1
        10
              (15 − 2 x
                      1
                       (1)
                                                      )
                                    − x3(1) − 2 x4(1) =
                                                                1
                                                               10
                                                                   (15 − 0,84 − 1,04 − 2,6 ) ≈ 1,05
x3(2) =
         1
        15
             ( 25,7 − x   1
                           (1)
                                     − 3 x2(1) − 3 x4(1)   )       1
                                                               = ( 25,7 − 0,42 − 2,58 − 3,9 ) ≈ 1,25
                                                                  15
x4(2) =
         1
        24
              (38,8 − 4 x      1
                                (1)
                                      − 2 x2(1) − x3(1)    )        1
                                                               = ( 38,8 − 1,68 − 1,72 − 1,04 ) ≈ 1,43
                                                                   24

      при k = 3                       x1(3) ≈ 0,50,        x2(3) ≈ 1,00,       x3(3) ≈ 1, 21,   x4(3) ≈ 1,40

      при k = 4                       x1(4) ≈ 0,50,        x2(4) ≈ 1,00,       x3(4) ≈ 1,20,    x4(4) ≈ 1,40

      при k = 5                       x1(5) ≈ 0,50,        x2(5) ≈ 1,00,       x3(5) ≈ 1,20,    x4(5) ≈ 1, 40

      Вычисляем модули разности значений xi
                                                                     (k )
                                                                            − xi( k −1) между четвертым и пятым
приближениями. Все они меньше 0,01= ε , поэтому их можно взять в качестве решения.


      Пример 2        Решить систему методом простой итерации, произведя три
итерации. Указать погрешность полученного результата.
          ⎧1,02 x1 − 0,05 x2 − 0,10 x3 = 0,795
          ⎪
          ⎨−0,11x1 + 1,03 x2 − 0,05 x3 = 0,849
          ⎪−0,11x − 0,12 x + 1,04 x = 1,398
          ⎩        1        2         3
       Решение:
       Матрица данной системы такова, что диагональные элементы близки к единице,
а все остальные значительно меньше единицы. Вычленим единицу из каждого
диагонального коэффициента и выразим полученные таким образом x1 , x2 , x3 из 1, 2
и 3-го уравнений соответственно:
          ⎧ x1 = 0,795 − 0,02 x1 + 0,05 x2 + 0,10 x3
          ⎪
          ⎨ x2 = 0,849 + 0,11x1 − 0,03 x2 + 0,05 x3
          ⎪ x = 1,398 + 0,11x + 0,12 x − 0,04 x
          ⎩ 3                 1         2         3


                                                                                                                25