Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 27 стр.

             ⎛ 1,02 −0,25 −0,30 ⎞                                 ⎛ 0,515 ⎞                  ⎛ 2,0 ⎞
        A = ⎜⎜ −0,41 1,13 −0,15 ⎟⎟ ,                         f = ⎜⎜ 1,555 ⎟⎟ ,          x = ⎜⎜ 2,5 ⎟⎟ ,       ε = 10−3
             ⎜ −0,25 −0,14 1,21 ⎟                                 ⎜ 2,780 ⎟                  ⎜ 3,0 ⎟
             ⎝                   ⎠                                ⎝        ⎠                 ⎝      ⎠

       2.
         ⎛10,9 1,2 2,1 0,9 ⎞                                   ⎛ −7,0 ⎞                  ⎛ −1 ⎞
         ⎜ 1,2 11,2 1,5 2,5 ⎟                                  ⎜ 5,3 ⎟                   ⎜0⎟
       A=⎜                  ⎟,                              f =⎜      ⎟,             x = ⎜ ⎟,             ε = 10−3
         ⎜ 2,1 1,5 9,8 1,3 ⎟                                   ⎜ 10,3 ⎟                  ⎜1⎟
         ⎜                  ⎟                                  ⎜      ⎟                  ⎜ ⎟
         ⎝ 0,9 2,5 1,3 12,1⎠                                   ⎝ 24,6 ⎠                  ⎝2⎠

      3. Решить систему методом простой итерации, произведя три итерации. Указать
погрешность полученного результата.
       ⎧5 x1 − x2 + x3 = 4,
       ⎪
       ⎨0,5 x1 + 2 x2 − x3 = 1,
       ⎪ x − x + 4 x = 2.
       ⎩ 1     2      3




                                   2.2 Метод Зейделя.
      Метод Зейделя (МЗ) является модификацией метода простой итерации, его
применяют в двух видоизменениях. Рассмотрим сначала случай канонической формы
системы для метода итерации: x = Bx + b .
      1. МЗ заключается в том, что при вычислениях (k+1)-го приближения
неизвестного xi при i > 1 используются уже вычисленные ранее (k+1)-е приближения
неизвестных x1 , x2 ,… xi −1 . Таким образом, для системы (1) расчеты ведутся по
формулам

     ⎧ x1( k +1) = b11 x1( k ) + b12 x2( k ) + K + b1n xn ( k ) + c1
     ⎪ ( k +1)
     ⎪ x2        = b21 x1( k +1) + b22 x2( k ) + K + b2 n xn ( k ) + c2
     ⎨                                                                                                       (8)
     ⎪....................................................................
     ⎪ x ( k +1) = b x ( k +1) + b x ( k +1) + KK + b                            ( k +1)
                                                                                         + bnn xn ( k ) + cn
     ⎩ n              n1 1              22 2                          n ,n−1 xn−1

      То есть на k+1 шаге пускаем в расчет вычисленные k+1-е компоненты,
остальные компоненты берем из предыдущего шага.
               i −1                  n
   xi ( k +1) = ∑ bi j x (jk +1) + ∑ bi j x j ( k ) + ci
                j =1                j =i

      Разложим матрицу В на сумму двух матриц M и N, где




                                                                                                                   27