Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

29
то равенства (10) можно записать в матричном виде
(1) () (1) 1 () 1
или
kk k k
B
xCxf x BCxBf
++−−
+= =− +
Отсюда видно, что МЗ в форме (10) равносилен МПИ, примененному к системе
в каноническом виде
11
x
BCx B f
−−
=− +
Для сходимости метода при любом векторе f необходимо и достаточно, чтобы
все собственные значения матрицы
1
B
C
−
−
, то есть все корни уравнения
1
0BC E
λ
−
−−= были по модулю меньше единицы.
Пример.
Для системы
123
123
12 3
611,33
632
642
xx x
xxx
xx x
−−=
⎧
⎪
−+ − =
⎨
⎪
−− + =
⎩
известны приближенные значения неизвестных, полученные методом Гаусса:
123
4,67, 7,62, 9,05xx x≈≈≈.
Методом Зейделя уточнить решения так, чтобы значения неизвестных
() ( 1)
и
kk
ii
xx
+
отличались не более чем на
3
510
−
⋅
.
Решение.
Приведем систему к виду
()
()
()
123
213
312
1
11,33
6
1
32
6
1
42
6
x
xx
xxx
xxx
⎧
=++
⎪
⎪
⎪
=++
⎨
⎪
⎪
=++
⎪
⎩
Условия сходимости для полученной системы выполнены
3
1
1
1
3
j
j
B
=
=
∑
<1,
3
2
1
1
3
j
j
B
=
∑
<1,
3
3
1
1
3
j
j
B
=
=
∑
<1
Таким образом, сходимость итераций гарантирована. При этом
1
3
α
= . Так что
точность k-го приближения может быть оценена по формуле (4``) при
13 1
113 2
=
−
.
Взяв в качестве начального приближения
(0)
1
4,67x = ,
(0)
2
7,62x = ,
(0)
3
9,05x = , получим
()
()
()
(1)
1
(1)
2
(1)
3
1
11,33 16,67 4,66667
6
1
32 13,71667 7,61944
6
1
42 12,28611 9,04768
6
x
x
x
=+=
=+ =
=+ =
то равенства (10) можно записать в матричном виде

    Bx ( k +1) + Cx ( k ) = f    или        x ( k +1) = − B −1Cx ( k ) + B −1 f
       Отсюда видно, что МЗ в форме (10) равносилен МПИ, примененному к системе
                                       −1          −1
в каноническом виде x = − B Cx + B f
       Для сходимости метода при любом векторе f необходимо и достаточно, чтобы
все собственные значения матрицы                        − B −1C , то есть все корни уравнения
− B −1C − λ E = 0 были по модулю меньше единицы.
       Пример.
       Для системы
       ⎧6 x1 − x2 − x3 = 11,33
       ⎪
       ⎨− x1 + 6 x2 − x3 = 32
       ⎪− x − x + 6 x = 42
       ⎩ 1 2           3
известны приближенные значения неизвестных, полученные методом Гаусса:
       x1 ≈ 4,67, x2 ≈ 7,62, x3 ≈ 9,05 .
       Методом Зейделя уточнить решения так, чтобы значения неизвестных
xi( k ) и xi( k +1) отличались не более чем на 5 ⋅ 10−3 .
       Решение.
       Приведем систему к виду
       ⎧      1
       ⎪ x1 =   (11,33 + x2 + x3 )
              6
       ⎪
       ⎪      1
       ⎨ x2 = ( 32 + x1 + x3 )
       ⎪      6
       ⎪      1
       ⎪ x3 =   ( 42 + x1 + x2 )
       ⎩      6
       Условия сходимости для полученной системы выполнены
         3                      3                       3
                   1                         1                     1
       ∑ B1 j     = <1,
                   3
                                ∑ B2 j      = <1,
                                             3
                                                        ∑ B3 j    = <1
                                                                   3
        j =1                    j =1                    j =1
                                                                                             1
       Таким образом, сходимость итераций гарантирована. При этом                        α = . Так что
                                                                                             3
                                                                                         13   1
точность k-го приближения может быть оценена по формуле (4``) при                            = .
                                                                                        1−1 3 2
       Взяв в качестве начального приближения                               x1(0) = 4,67 , x2(0) = 7,62 ,
x3(0) = 9,05 , получим
               1
       x1(1) = (11,33 + 16,67 ) = 4,66667
               6
               1
       x2(1) = ( 32 + 13,71667 ) = 7,61944
               6
               1
       x3(1) = ( 42 + 12,28611) = 9,04768
               6

                                                                                                      29

Страницы