Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

31
123
12 3
123
1,02 0,05 0,10 0,795 ,
0,11 1,03 0,05 0,849 ,
0,11 0,12 1,04 1,398 .
xxx
xx x
xxx
−−=
⎧
⎪
−+ − =
⎨
⎪
−− + =
⎩
Метод релаксации.
Любой двухслойный итерационный метод можно записать в следующей
канонической форме:
(1) ()
() (0)
(1)
,0,1,,для всех
kk
k
k
xx
B
Ax f k x H
τ
+
+
−
+= = ∈
K , (11)
где :
A
HH→ – оператор исходного уравнения
A
xf
=
, :
B
HH→ линейный
оператор, имеющий обратный
1
B
−
, k – номер итерации,
(1) (2) ( 1)
,,, ,
k
ττ τ
+
KK–
итерационные параметры,
(1)
0
k
τ
+
> .
Чтобы ускорить итерационный процесс, запишем метод Зейделя в виде
итерационной схемы (11), введя параметр
, так что
()
(1) ()
() (0)
,0,1,,для всех
kk
k
xx
DA Ax fk x H
ω
ω
+
−
−
++== ∈
K , (12)
где
(
)
,1,0при
ii ij ii ij
Da ij
δδ δ
===≠, т.е. D – диагональная матрица
размера nn× .
(
)
ij
A
a
−−
=
– нижняя треугольная (поддиагональная) матрица с нулями
на главной диагонали, 0 при , при
ij ij ij
ajiaaji
−−
=≥= <. Введем обозначение
(
)
ij
A
a
++
= – верхняя треугольная (наддиагональная) матрица с нулями на главной
диагонали, 0 при , при
ij ij ij
ajiaaji
++
=≤= >. Таким образом,
рассматривается аддитивное представление исходной матрицы
A
ADA
−+
=
++ .
Сравнивая (12) с (11), видим, что
,BD A
ω
τω
−
=+ =
Покажем, что при 1
ω
= получим формулу метода Зейделя. Преобразуем
уравнение (12) к расчетному виду.
Учитывая, что
()
(1) ()
() ( 1) ()
(1) ()
11
11
1,
kk
kk k
kk
xx
DA Ax A Dx AA Dx
ADx A Dx
ω
ωωω
ωω
+
−−+−
−++
−
⎛⎞⎛ ⎞
++=++−−=
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
=+ ++−
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
имеем
(1) ()
11
1
kk
A
Dx A Dx f
ωω
−++
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
+++−=
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
. 
        ⎧1,02 x1 − 0,05 x2 − 0,10 x3 = 0,795 ,
        ⎪
        ⎨−0,11x1 + 1,03x2 − 0,05 x3 = 0,849 ,
        ⎪−0,11x − 0,12 x + 1,04 x = 1,398 .
        ⎩        1        2         3




                                                       Метод релаксации.
      Любой двухслойный                        итерационный метод можно записать в следующей
канонической форме:

                  x ( k +1) − x ( k )
              B           ( k +1)
                                         + Ax ( k ) = f , k = 0,1,K, для всех x (0) ∈ H ,                   (11)
                      τ
где A : H → H – оператор исходного уравнения Ax = f , B : H → H линейный
                                                    −1
оператор, имеющий обратный B                             , k – номер итерации,τ
                                                                                  (1)
                                                                                        , τ (2) ,K,τ ( k +1) ,K –
                                          ( k +1)
итерационные параметры, τ       > 0.
      Чтобы ускорить итерационный процесс, запишем метод Зейделя в виде
итерационной схемы (11), введя параметр ω , так что


                       x ( k +1) − x ( k )
   (D +ωA )       −
                                ω
                                             + Ax ( k ) = f , k = 0,1,K, для всех x (0) ∈ H ,               (12)


          (
где D = aiiδ ij ,     )       δ ii = 1, δ ij = 0 при i ≠ j , т.е. D – диагональная матрица
                          −
                                    ( )
                                     −
размера n × n . A = ai j – нижняя треугольная (поддиагональная) матрица с нулями
                                     −
на главной диагонали, ai j = 0 при j ≥ i,                      ai−j = ai j при j < i . Введем обозначение

      ( )
A+ = ai+j – верхняя треугольная (наддиагональная) матрица с нулями на главной
диагонали,            ai+j = 0 при j ≤ i, ai+j = ai j при j > i .                        Таким        образом,
                                                                                           −            +
рассматривается аддитивное представление исходной матрицы A = A + D + A .
      Сравнивая (12) с (11), видим, что

    B = D + ω A− , τ = ω
      Покажем, что при ω = 1 получим формулу метода Зейделя. Преобразуем
уравнение (12) к расчетному виду.
      Учитывая, что

                       x ( k +1) − x ( k )
   (D +ωA )       −
                                ω
                                                          ⎛     1 ⎞              ⎛         1 ⎞
                                             + Ax ( k ) = ⎜ A− + D ⎟ x ( k +1) + ⎜ A − A− − D ⎟ x ( k ) =
                                                          ⎝     ω ⎠              ⎝         ω ⎠
      ⎛     1 ⎞              ⎛      ⎛    1⎞ ⎞
    = ⎜ A− + D ⎟ x ( k +1) + ⎜ A+ + ⎜ 1 − ⎟ D ⎟ x ( k ) ,
      ⎝     ω ⎠              ⎝      ⎝ ω⎠ ⎠
имеем

   ⎛ − 1 ⎞ ( k +1) ⎛ + ⎛      1⎞ ⎞
   ⎜ A + D⎟x      + ⎜ A + ⎜1 − ⎟ D ⎟ x( k ) = f .
   ⎝    ω ⎠         ⎝     ⎝ ω⎠ ⎠
                                                                                                              31

Страницы