Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

33
12 1
21 22 2
11
12
1
n
n
nn nn
bb
aa a
Da
aa a
=
K
K
K KKK
K
.
Умножая первую строку последовательно на
21 31 1
, , ...,
n
aa a
и вычитая из
второй, третьей и т.д. строк, получим
(1) (1) (1)
12 1
22 23 2
(1) (1)
(1) (1) (1)
22 2
32 33 3
11 11
(1) (1)
(1) (1) (1)
2
23
1
0
0
n
n
n
n
nnn
nn nn
bb
aa a
aa
aa a
Da a
aa
aa a
==
K
K
K
K
KKKK
KKKK
K
K
(1)
Этим мы понизим порядок определителя на единицу и можем перейти ко
второму шагу преобразований, применяя к полученному определителю порядка 1n
−
такие же преобразования. Выполняя все n шагов, найдем определитель
D
:
(1) ( 2) ( 1)
11 22 33
...
n
nn
Da a a a
−
=⋅ ⋅ ⋅⋅ (2)
Таким образом, для вычисления определителя нужно выполнить вычисления
необходимые для осуществления прямого хода в методе Гаусса для системы 0
A
x
=
, а
затем найти произведение ведущих элементов. Вычислительная схема в этом случае
такая же, как для системы ЛАУ, только без столбца свободных членов. Контрольные
соотношения остаются прежними.
1.2 Применение метода квадратных корней.
Если матрица
A
симметрическая, то для вычисления определителя этой
матрицы целесообразно использовать метод квадратных корней.
Представим матрицу
A
в виде произведения двух взаимно транспонированных
треугольных матриц
T
A
TT= , где
11 12 1
22 2
0
00
n
n
nn
tt t
tt
T
t
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
K
K
KKKK
K
;
тогда
()
()
2
2
11 22
det det det det
T
nn
A
TT Ttt t===⋅⋅⋅K
. Числа
ii
t (i=1,2,…,n)
находим по соответствующим формулам.
1
1
11 11 1
11
1
1
1
2
,(1); (1),
(); 0 при .
j
j
i
ij
k
i
ii ii
ki
k
ki k j
ij ij
ii
a
tat j ta t im
t
att
tijtij
t
−
=
−
=
==>=− <≤
−
=<=>
∑
∑
(4)
2. Вычисление элементов обратной матрицы. 
                                                       1 b12                K b1n
                                                      a   a                 K a2 n
                                               D = a11 21 22                             .
                                                      K K                   K        K
                                             K ann    an1 an 2
       Умножая первую строку последовательно на a21, a31, ..., an1 и вычитая из
второй, третьей и т.д. строк, получим

                          1       b12          K            b1n          a22(1)      a23(1) K a2 n (1)
                      0 a22(1) K a2 n (1)       a32(1)                               a33(1) K a3n (1)
              D = a11                     = a11                                                                  (1)
                      K K K K                    K                                    K K K
                          0      an 2(1) K ann (1)                       an 2(1)     an3(1) K ann (1)
       Этим мы понизим порядок определителя на единицу и можем перейти ко
второму шагу преобразований, применяя к полученному определителю порядка n − 1
такие же преобразования. Выполняя все n шагов, найдем определитель D :

                                       D = a11 ⋅ a22(1) ⋅ a33(2) ⋅ ... ⋅ ann ( n−1)                              (2)
       Таким образом, для вычисления определителя нужно выполнить вычисления
необходимые для осуществления прямого хода в методе Гаусса для системы Ax = 0 , а
затем найти произведение ведущих элементов. Вычислительная схема в этом случае
такая же, как для системы ЛАУ, только без столбца свободных членов. Контрольные
соотношения остаются прежними.

                      1.2 Применение метода квадратных корней.
      Если матрица A симметрическая, то для вычисления определителя этой
матрицы целесообразно использовать метод квадратных корней.
      Представим матрицу A в виде произведения двух взаимно транспонированных
                                        T
треугольных матриц A = T T , где
                                                      ⎛ t11 t12          K t1n ⎞
                                                      ⎜0 t               K t2 n ⎟⎟
                                                   T =⎜      22
                                                                                   ;
                                                      ⎜K K               K K⎟
                                                      ⎜⎜                         ⎟
                                                       ⎝0 0              K tnn ⎟⎠
                              det T = ( det T ) = ( t11 ⋅ t22 ⋅ K ⋅ tnn ) .
                          T                             2                            2
тогда det A = det T                                                                      Числа   tii     (i=1,2,…,n)
находим по соответствующим формулам.

                                a1 j                                          i −1
    t11 = a11 , t1 j =                      ( j > 1);             tii = aii − ∑ tki
                                                                                 2
                                                                                              (1 < i ≤ m),
                                t11                                           k =1
                   i −1                                                                                          (4)
             aij − ∑ tki tk j
                   k =1
    ti j =                             (i < j );             ti j = 0 при i > j.
                   tii


       2. Вычисление элементов обратной матрицы.

                                                                                                                 33

Страницы