Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

35
Пусть для неособенной матрицы
A
получены приближенные значения
элементов обратной матрицы. Обозначим матрицу с такими элементами через
1
0
XA
−
≈ ; для уточнения элементов обратной матрицы строим следующий
итерационный процесс:
(
)
11
2 ( 1,2,...)
kk k
XX EAX k
−−
=− = (2)
Рассмотрим матрицу
kk
GEAX
=
− . (3)
Тогда (2) с учетом (3) перепишется в виде:
(
)
11
(1,2,...)
kk k
XXEG k
−−
=+ = (4)
Достаточные условия сходимости для процесса (2):
Для матрицы (3) верно получаемое ниже правило уменьшения индекса k и
выражение через начальное значение
0
G :
()()
2
2
24
11 112
0
...
k
kkk k kkk
G E AX E AX E AX E AX G G G
−− −−−
=− =− − = − = = ==
Погрешность приближения имеет следующее выражение через
0
G :
()
2
11 11
0
k
kkk
A
XAEAX AGAG
−− −−
−= − = =
Отсюда получается оценка
2
11
0
k
k
AX AG
−−
−≤ ⋅ (5)
Поэтому можно сказать, что если приближенное значение
0
X
будет настолько
близко к
1
A
−
, что
00
1GEAX=− <, то
1
k
XA
−
→ ; при этом сходимость будет
весьма быстрой, т.к. показатель степени 2
k
в (5) с ростом k увеличивается очень
быстро.
Матрица
k
G на каждом шаге характеризует в некотором смысле степень
близости матрицы
k
X к матрице
1
A
−
.
Обычно итерации продолжают до тех пор, пока элементы матрицы
k
G
по
модулю не станут меньше заданного числа
, и тогда приближенно полагают
1
k
A
X
−
≈
Точные методы вычисления обратной матрицы часто приводят к заметным
погрешностям, вызванным неизбежными ошибками округления и большим
количеством операций при расчете, т.о. указанный итерационный процесс оказывается
весьма полезным. 
      Пусть для неособенной матрицы   A получены приближенные значения
элементов обратной матрицы. Обозначим матрицу с такими элементами через
X 0 ≈ A−1 ;  для уточнения элементов обратной матрицы строим следующий
итерационный процесс:
                       X k = X k −1 ( 2 E − AX k −1 )     (k = 1,2,...)                 (2)

       Рассмотрим матрицу
                                      Gk = E − AX k .                                   (3)
       Тогда (2) с учетом (3) перепишется в виде:
                         X k = X k −1 ( E + Gk −1 )     (k = 1,2,...)                   (4)

      Достаточные условия сходимости для процесса (2):
       Для матрицы (3) верно получаемое ниже правило уменьшения индекса k и
выражение через начальное значение G0 :

Gk = E − AX k = E − AX k −1 ( E − AX k −1 ) = ( E − AX k −1 ) = Gk2−1 = Gk4−2 = ... = G02
                                                                 2                          k



Погрешность приближения имеет следующее выражение через G0 :

                    A−1 − X k = A−1 ( E − AX k ) = A−1Gk = A−1G02
                                                                          k




       Отсюда получается оценка
                                                            2k
                                A−1 − X k ≤ A−1 ⋅ G0                                    (5)

       Поэтому можно сказать, что если приближенное значение X 0 будет настолько
              −1
близко к A , что       G0 = E − AX 0 < 1, то X k → A−1 ; при этом сходимость будет
                                                 k
весьма быстрой, т.к. показатель степени 2 в (5) с ростом k увеличивается очень
быстро.
      Матрица Gk на каждом шаге характеризует в некотором смысле степень
                                       −1
близости матрицы X k к матрице A .
      Обычно итерации продолжают до тех пор, пока элементы матрицы                  Gk по
модулю не станут меньше заданного числа ε , и тогда приближенно полагают
                                              A−1 ≈ X k
      Точные методы вычисления обратной матрицы часто приводят к заметным
погрешностям, вызванным неизбежными ошибками округления и большим
количеством операций при расчете, т.о. указанный итерационный процесс оказывается
весьма полезным.




                                                                                            35

Страницы