Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 37 стр.

      Преобразование B = S −1 AS матриц B и A с помощью невырожденной матрицы
S называется преобразованием подобия. Известно, что подобное преобразование
матрицы A не изменяет ее собственного многочлена:
                  B − λ E = S −1 AS − λ S −1 ES = S −1 ⋅ A − λ E ⋅ S = A − λ E ,
где λ – собственное значение матрицы B (и матрицы A ). Пусть y – собственный
вектор матрицы B , соответствующий λ : By = λ y .
                                                          By = S −1 AS y = λ y
                                                                                                     (1)
                                                          A( S y) = λ ( S y)
      Таким образом, мы доказали, что у двух подобных матриц собственные
значения одинаковы (т.е. при преобразовании подобия собственные значения не
меняются), а собственные векторы получаются один из другого умножением на
матрицу, которая осуществляет преобразования подобия.
      Запишем характеристический многочлен матрицы в канонической форме
Фробениуса
           p1 − λ p2 p3 K pn −1 pn
                                                              p2 p3 K pn −1 pn
             1    −λ 0 K 0           0
                                                              1 −λ K 0       0
                                     0 = ( p1 − λ )( −λ ) −
                                                         n −1
 Ф − λE = 0        1 −λ K 0                                                    =
                                                              K K K K K
            K     K K K K K
                                                              0  0 K 1      −λ
             0     0   0 K 1        −λ
                                                     p3    p4          K       pn −1    pn
                                                     1     −λ K                 0       0
 = ( p1 − λ )( −λ )          − p2 ( −λ )
                      n −1                 n−2
                                                 +                                            =K
                                                     K     K K                 K       K
                                                     0     0 K                 1       −λ
 = ( p1 − λ )( −λ )          − p2 ( −λ )         + p3 ( −λ )           − K + ( −1)
                      n −1                 n−2                  n −3                   n +1
                                                                                              pn =
 = ( −1) ( λ n − p1λ n −1 − p2λ n − 2 − K − pn ) = ( −1) Pn ( λ )
        n                                                                  n




          В преобразовании Ф = S −1 AS матрицу S целесообразно находить путем
последовательного приведения строк к каноническому виду.
          1-й шаг. Начнем с приведения последней строки. Предположим, что элемент
an n −1 ≠ 0 . Разделим на него ( n − 1) -й столбец матрицы A . Вновь полученный ( n − 1) -й
столбец умножим на ani и вычтем из столбца номера i . Проделав это для
i = 1, 2,K , n − 2, n , приведем последнюю строку к виду Фробениуса. Такое
преобразование равносильно умножению матрицы A справа на матрицу
                                    ⎛ 1             0      K    0       0 ⎞
                                    ⎜                                          ⎟
                                    ⎜ 0             1      K    0       0 ⎟
                                    ⎜ K            K       K K         K ⎟
                           M n −1 = ⎜                                          ⎟
                                    ⎜ − an1      −
                                                    an 2
                                                           K
                                                                1
                                                                     −
                                                                        ann ⎟
                                    ⎜ an n −1      an n −1   an n −1   an n −1 ⎟
                                    ⎜⎜                                         ⎟⎟
                                     ⎝    0         0      K    0       1       ⎠
                                      1
         Определитель M n −1 =            ≠ 0 , следовательно, существует обратная матрица:
                                  an n −1




                                                                                                     37