Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 36 стр.

                          III. Проблема собственных чисел
      Во многих задачах одновременно с матрицей A приходится рассматривать
связанное с ней уравнение
                                   a11 − λ      a12   K          a1n
                                     a21      a22 − λ K          a2 n
                       A − λE =                                         = 0,                  (1)
                                      K         K        K       K
                                      an1       an 2     K ann − λ

которое называют характеристическим (или вековым) уравнением матрицы A .
Определитель A − λ E есть алгебраический многочлен степени n от λ со старшим
коэффициентом (−1) n и его обычно записывают в виде

                   A − λ E = (−1) n ( λ n − p1λ n −1 − K − pn ) = (−1) n Pn ( λ )             (2)

      Многочлен Pn ( λ ) называют собственным многочленом                       матрицы A . Корни
многочлена     λ1 , λ2 ,K , λn называются                собственными   значениями   (или
характеристическими числами) матрицы                    A . Они характеризуются тем, что
однородная система
                                             Ax = λ x                                         (3)
имеет ненулевое решение в том и только в том случае, когда λ есть собственное
значение A . Отвечающие ему ненулевые решения системы (3) получили название
собственных векторов матрицы, соответствующих значению λ .
      Отыскание собственных значений матрицы A – это задача решения
алгебраического уравнения степени n в форме (1) или (4)
                                Pn ( λ ) = λ n − p1λ n −1 − K − pn .                          (4)

       После того как собственные значения будут вычислены, соответствующие им
собственные векторы могут быть найдены как решение однородной системы (3).
       Опр. Задача нахождения собственных значений матрицы называется полной
проблемой собственных значений.
       Существует ряд задач, где полные сведения не являются необходимыми и
можно ограничиться меньшим объемом знаний: например, достаточно указать
границы, в которых лежат все собственные значения, как это бывает при изучении
устойчивости или неустойчивости процессов, или найти собственное значение,
близкое к известному числу, когда рассматриваются явления резонанса, и т.д. Такого
рода задачи называются частичными проблемами собственных значений и для каждой
из них создаются свои методы решения.

1. Решение полной проблемы собственных чисел. Прямые методы.
      1.1 Метод Данилевского (для матриц с небольшой размерностью).
      Сведение матрицы A преобразованием подобия к канонической форме
Фробениуса Ф:
                               ⎛ p1 p2 p3 K pn −1 pn ⎞
                               ⎜                         ⎟
                               ⎜1 0 0 K 0             0⎟
                          Ф=⎜ 0 1 0 K 0               0⎟
                               ⎜                         ⎟
                               ⎜K K K K K K ⎟
                               ⎜0 0 0 K 1             0 ⎟⎠
                               ⎝



                                                                                               36