Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 34 стр.

                                 2.1 Применение метода Гаусса
                                                               −1
      Обратной к матрице A называют такую матрицу A , для которой

                                     AA−1 = A−1 A = E ,                        (1)
где E – единичная матрица.
      Квадратная матрица A называется неособенной или невырожденной, если ее
определитель отличен от нуля det A ≠ 0 . Любая неособенная матрица имеет обратную.
      Пусть дана неособенная матрица A . Для вычисления элементов ее обратной
            −1
матрицы A        используем соотношение (1).
           ⎛ a11 a12   K a1n ⎞             ⎛ x11 x12 K x1n ⎞
           ⎜a     a    K a2 n ⎟⎟           ⎜                 ⎟
                                        −1 ⎜ x21 x22 K x2 n ⎟
       A = ⎜ 21 22                 , A =
           ⎜K K        K K⎟                ⎜K K K K ⎟
           ⎜⎜                    ⎟         ⎜⎜                ⎟⎟
            ⎝ an1 an 2 K ann ⎟⎠             ⎝ xn1 xn 2 K xnn ⎠
                                     −1
        Умножая матрицу A на A и приравнивая каждый элемент произведения
                                                               2          2
соответствующему элементу матрицы E , получим систему из n уравнений с n
неизвестными xij (i, j = 1, n) .
        Так, умножая почленно каждую строку матрицы A на первый столбец
           −1
матрицы A и каждый раз приравнивая полученное произведение соответствующему
элементу первого столбца матрицы E , получаем систему
                            ⎧a11x11 + a12 x21 + K + a1n xn1 = 1,
                            ⎪a x + a x + K + a x = 0,
                            ⎪ 21 11 22 21              2 n n1
                            ⎨
                            ⎪KKKKKKKKKKKK
                            ⎪⎩an1x11 + an 2 x21 + K + ann xn1 = 0.
      Аналогично при почленном умножении строк матрицы A на второй столбец
            −1
матрицы A        образуется еще одна система
   ⎧a11x12 + a12 x22 + K + a1n xn 2 = 0,
   ⎪a x + a x + K + a x = 1,
   ⎪ 21 12     22 22          2n n 2
   ⎨                                              и т.д.
   ⎪KKKKKKKKKKKK
   ⎪⎩an1x12 + an 2 x22 + K + ann xn 2 = 0.
                                      2                    2
       Таким образом, система из n уравнений с n неизвестными распадается на n
систем с n неизвестными. Все эти системы имеют одну и ту же матрицу A и
отличаются только свободными членами. Т.к. при решении системы по методу Гаусса
основные вычисления приходится производить над матрицей коэффициентов, решение
этих систем можно объединить в одной схеме, рассматривая одновременно n столбцов
свободных членов.
       Замечание: При вычислении обратной матрицы можно использовать также
метод Гаусса с выбором главного элемента.
       Элементы обратной матрицы получаются с некоторой погрешностью, которая
появляется в результате округлений в процессе вычислений.
       Рассмотрим метод исправления элементов приближенной обратной матрицы.

2.2. Применение метода итераций для уточнения элементов обратной матрицы.

                                                                               34