Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 32 стр.

      Отсюда находим

                                           ω⎡          i −1                      n              ⎤
                                                ⎢ fi − ∑                      − ∑ aij x j ( k ) ⎥ , i = 1,2,..., n ,
               ( k +1)
          xi             = xi   (k )
                                       +                      aij x (jk +1)                                             (13)
                                           aii ⎣⎢      j =1                     j =i            ⎦⎥
т.е. при ω = 1 получили формулу Зейделя.
        Скорость сходимости метода релаксации зависит от параметра ω . Для
сходимости метода надо потребовать, чтобы 0< ω <2. При 0< ω <1 итерационный
процесс (12) называют методом нижней релаксации, а при 1< ω <2 – методом
верхней релаксации.
Метод релаксации (и метод Зейделя) является примерами неявных схем вида

                 x ( k +1) − x ( k )
           B                               + Ax ( k ) = f , k = 0,1,K, для всех x (0) ∈ H
                          τ
                                                                                                           −1
с несамосопряженным оператором B , имеющим обратный оператор B .
       Метод (12) называется стационарным итерационным методом, т.к. B и                                               τ не
                                                                                                                −1
зависят от номера итерации. Для существования обратного оператора B достаточно
потребовать положительности оператора B .
      Теорема (Островского-Рейча)
      Для нормальной системы Ax = f метод релаксации (13) сходится при любом
x (0) и любом ω ∈ (0,2) .
      В общем случае задача нахождения оптимального значения параметра                                                 ω не
решена, и в практических расчетах принимают метод проб и ошибок.


                II. Вычисление определителей, обращение матриц.
      1. Вычисление определителей.
                            1.1 Применение метода Гаусса.
      Идея способа Гаусса последовательного исключения неизвестных в системе
уравнений может быть перенесена на задачу вычисления определителей, и здесь она
переходит в способ последовательного понижения порядка n определителя.
Рассмотрим схему единственного деления. Пусть дан определитель
                                                              a11       a12 K a1n
                                                              a21 a22 K a2 n
                                                    D=                       .
                                                              K K K K
                                                              an1 an 2 K ann
      Выберем как–либо ведущий элемент первого шага преобразований. Он должен
быть отличен от нуля. Иногда, чтобы избежать сильного разброса в порядках чисел, за
него принимают либо наибольший по модулю элемент D , либо наибольший по
модулю элемент в избранной строке или избранном столбце. Выполняя, если нужно,
перестановку строк и столбцов, можно считать, что за ведущий элемент принят a11 .
Вынося a11 из первой строки (первого столбца) за знак D , приведем определитель к
виду




                                                                                                                         32