Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

30
()
()
()
(2)
1
(2)
2
(2)
3
1
11,33 16,66712 4,66619
6
1
32 13,71387 7,61897
6
1
42 12,28516 9,04752
6
x
x
x
=+ =
=+ =
=+ =
Т.к. для приведенной системы выполняется условие (4) при
1
3
α
= , то
полученное приближение с оценкой (4``) имеет погрешность не превышающую
44
1
510 2,510
2
−−
⋅⋅ = ⋅ . Таким образом, в качестве решения можем принять
123
4,666, 7,619, 9,048xx x≈≈≈
Упражнения.
Решить системы методом Зейделя. Продолжать итерации до тех пор, пока
() ( 1)kk
ii
xx
−
− не станет меньше указанного
ε
.
1.
12 3 4
1234
12 34
123 4
20 2 0,5 14,1
210 2 15
3153 25,7
42 24 38,8
xx x x
xxxx
xx xx
xxx x
++ + =
⎧
⎪
+++=
⎪
⎨
++ +=
⎪
⎪
+++ =
⎩
2
10
ε
−
=
.
2.
3
1,02 0,25 0,30 0,515 2,0
0,41 1,13 0,15 , 1,555 , 2,5 , 10
0,25 0,14 1,21 2,780 3,0
Afx
ε
−
−−
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
=− − = = =
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
−−
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
3.
3
10,9 1,2 2,1 0,9 7,0 1
1, 2 11, 2 1, 5 2, 5 5, 3 0
,,,10
2,1 1,5 9,8 1,3 10,3 1
0,9 2,5 1,3 12,1 24,6 2
Afx
ε
−
−−
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
====
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
4. Решить систему методом Зейделя, произведя три итерации. Указать погрешность
полученного результата.
123
12 3
123
1,1 0, 2 0,1 1, 6 ,
0,1 1, 2 0, 2 2,3 ,
0, 2 0,1 1,1 1,5 .
xxx
xx x
xxx
−+=
⎧
⎪
−−=
⎨
⎪
−+=
⎩
5. Решить систему методом Зейделя, произведя три итерации. Указать погрешность
полученного результата, сравнить с решением МПИ, полученными ранее. 
               1
        x1(2) =  (11,33 + 16,66712 ) = 4,66619
               6
               1
        x2(2) = ( 32 + 13,71387 ) = 7,61897
               6
               1
        x3(2) = ( 42 + 12,28516 ) = 9,04752
               6
                                                                                              1
       Т.к. для приведенной системы выполняется условие (4) при                        α = , то
                                                                                              3
полученное приближение с оценкой (4``)                 имеет погрешность не превышающую
1
  ⋅ 5 ⋅ 10−4 = 2,5 ⋅ 10−4 . Таким образом, в качестве решения можем принять
2
         x1 ≈ 4,666, x2 ≈ 7,619, x3 ≈ 9,048

       Упражнения.
       Решить системы методом Зейделя. Продолжать итерации до тех пор, пока
 xi( k ) − xi( k −1) не станет меньше указанного ε .
1.
        ⎧20 x1 + x2 + 2 x3 + 0,5 x4 = 14,1
        ⎪2 x + 10 x + x + 2 x = 15
        ⎪ 1
        ⎨
                     2    3      4
                                                                ε = 10−2 .
        ⎪ x1 + 3 x2 + 15 x3 + 3 x4 = 25,7
        ⎪⎩4 x1 + 2 x2 + x3 + 24 x4 = 38,8
2.
     ⎛ 1,02 −0,25 −0,30 ⎞                        ⎛ 0,515 ⎞            ⎛ 2,0 ⎞
A = ⎜⎜ −0,41 1,13 −0,15 ⎟⎟ ,                f = ⎜⎜ 1,555 ⎟⎟ ,    x = ⎜⎜ 2,5 ⎟⎟ ,     ε = 10−3
    ⎜ −0,25 −0,14 1,21 ⎟                         ⎜ 2,780 ⎟           ⎜ 3,0 ⎟
    ⎝                    ⎠                       ⎝       ⎠           ⎝      ⎠
3.

  ⎛10,9 1,2 2,1 0,9 ⎞                          ⎛ −7,0 ⎞             ⎛ −1 ⎞
  ⎜ 1,2 11,2 1,5 2,5 ⎟                         ⎜ 5,3 ⎟              ⎜0⎟
A=⎜                  ⎟,                     f =⎜      ⎟,        x = ⎜ ⎟,           ε = 10−3
  ⎜ 2,1 1,5 9,8 1,3 ⎟                          ⎜ 10,3 ⎟             ⎜1⎟
  ⎜                  ⎟                         ⎜      ⎟             ⎜ ⎟
  ⎝ 0,9 2,5 1,3 12,1⎠                          ⎝ 24,6 ⎠             ⎝2⎠
4. Решить систему методом Зейделя, произведя три итерации. Указать погрешность
полученного результата.
        ⎧1,1x1 − 0,2 x2 + 0,1x3 = 1,6 ,
        ⎪
        ⎨0,1x1 − 1,2 x2 − 0, 2 x3 = 2,3 ,
        ⎪0, 2 x − 0,1x + 1,1x = 1,5 .
        ⎩      1      2         3

5. Решить систему методом Зейделя, произведя три итерации. Указать погрешность
полученного результата, сравнить с решением МПИ, полученными ранее.




                                                                                                  30

Страницы