Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 28 стр.

              ⎛ 0    0            K         0        0⎞                ⎛ b11 b12             K b1 n−1   b1 n ⎞
              ⎜b                                                       ⎜                                     ⎟
              ⎜ 21 0              K         0        0 ⎟⎟              ⎜ 0 b22               K b2 n−1   b2 n ⎟
          M = ⎜ b31 b32           K         0        0 ⎟,           N =⎜ 0    0              K b3 n−1   b3 n ⎟
              ⎜                                         ⎟              ⎜                                     ⎟
              ⎜K K                K        K         K⎟                ⎜K K                  K   K      K⎟
              ⎜ bn1 bn 2                             0 ⎟⎠              ⎜⎜                                    ⎟
              ⎝                   K bn n−1
                                                                        ⎝ 0   0              K    0     bnn ⎟⎠
      Тогда равенства для метода простой итерации (7) можно записать в форме
матричного равенства
                               x ( k +1) = Mx ( k +1) + Nx ( k ) + c ,
откуда следует, что ( E − M ) x
                                ( k +1)
                                        = Nx ( k ) + c , а так как определитель матрицы
                                              ⎛ 1      0                    K 0⎞
                                              ⎜ −b     1                    K 0 ⎟⎟
                                      E − M = ⎜ 21
                                              ⎜ K      K                    K K⎟
                                              ⎜⎜                                 ⎟
                                               ⎝ −bn1 −bn 2                 K 1 ⎟⎠
равен единице и она имеет обратную, то равенство (8) равносильно
                                                      −1                            −1
                           x ( k +1) = ( E − M ) Nx ( k ) + ( E − M ) c                                      (9)

      Поэтому стационарный метод Зейделя равносилен методу простой итерации,
примененному к системе
                                                    −1                         −1
                                 x = ( E − M ) Nx + ( E − M ) c
      Условия сходимости для МПИ остаются верными и для метода Зейделя. Обычно
МЗ дает лучшую сходимость чем МПИ (хотя это бывает не всегда). Кроме того МЗ
может оказаться более удобным при программировании, так как при вычислениях
xi ( k +1) нет необходимости хранить значения x1( k ) , … , xi(−k1) .
      2. Другая запись метода Зейделя.
      В ней требуется предварительное преобразование системы Ax = f к виду в
котором все диагональные элементы отличны от нуля и если возможно даже
доминирующими в соответствующих уравнениях (т.е. aii ≠ 0 и по возможности aii
имели наибольшее значение в соответствующей строке, делается это путем
перестановки столбцов в матрице А).
      Приближение k+1 находят по приближению k с помощью системы соотношений

                  a11x1( k +1) + a12 x2( k ) + a13 x3( k ) + K + a1n xn( k ) = f1,
                  a21x1( k +1) + a22 x2( k +1) + a23 x3( k ) + K + a2 n xn( k ) = f 2 ,
                                                                                                            (10)
                  ........................................................................
                  an1x1( k +1) + an 2 x2( k +1) + an3 x3( k +1) + K + ann xn( k +1) = f n .
       Если разложить матрицу А на сумму двух матриц

        ⎛ a11 0           K  0 ⎞                    ⎛ 0 a12              K a1n ⎞
        ⎜a                K 0 ⎟⎟                    ⎜0 0
               a                                                         K a2 n ⎟⎟
    B = ⎜ 21 22                    ,             C =⎜                              ,
        ⎜K K              K K⎟                      ⎜K K                 K K⎟
        ⎜⎜                       ⎟                  ⎜                            ⎟
         ⎝ an1 an 2       K ann ⎟⎠                  ⎝0 0                 K 0 ⎠
                                                                                                                 28