Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 26 стр.

                        ⎛ −0,02 0,05   0,1 ⎞  ⎛ 0,795 ⎞
                        ⎜                   ⎟ ⎜
      В этой системе B = 0,11 −0,03 0,05 , c = 0,849 .
                                                      ⎟
                        ⎜                   ⎟ ⎜       ⎟
                        ⎜ 0,11  0,12 − 0,04 ⎟ ⎜ 1,398 ⎟
                        ⎝                   ⎠ ⎝       ⎠
      Условия сходимости для полученной системы выполнены
       3                              3                 3
      ∑ B1 j =0,17<1, ∑ B2 j =0,19<1, ∑ B3 j =0,27<1
       j =1                           j =1              j =1
      Таким образом, сходимость итераций гарантирована. При этом α = 0,27. Так
что точность k-го приближения может быть оценена по формуле (4``) при
  0,27
         ≈ 0,3699 .
1 − 0,27
                        (0)
       В качестве x возьмем элементы столбца св. членов, округлив их значения до
двух знаков после запятой:
                 ⎛ 0,80 ⎞
      x (0)   = ⎜⎜ 0,85 ⎟⎟
                 ⎜ 1, 40 ⎟
                 ⎝       ⎠
      Далее последовательно находим при k = 1
      x1(1) = 0,795 − 0,016 + 0,0425 + 0,140 = 0,9615 ≈ 0,962
      x2(1) = 0,849 + 0,088 − 0,0255 + 0,070 = 0,9815 ≈ 0,982
      x3(1) = 1,398 + 0,088 + 0,1020 − 0,056 = 1,532
      при k = 2
      x1(2) = 0,97806 ≈ 0,978, x2(2) = 1,00196 ≈ 1,002, x3(2) = 1,56038 ≈ 1,560
      при k = 3              x1(3) = 0,980,     x2(3) = 1,004,   x3(3) = 1,563
                                                                                               −3
       Значения неизвестных при k = 2 и k = 3 отличаются не более чем на 3 ⋅ 10 ,
поэтому если в качестве приближенных значений неизвестных взять
x1 ≈ 0,980, x2 ≈ 1,004, x3 ≈ 1,563 , то погрешность этих приближений не
                0,27
превзойдет             ⋅ 3 ⋅ 10−3 < 1,1 ⋅ 10−3 .
              1 − 0,27
      Замечание.    Если вид матрицы коэффициентов исходной системы не
соответствует матрицам в рассмотренных примерах, то можно попробовать так
переставить или преобразовать исходные уравнения, чтобы получить относительно
большие диагональные коэффициенты.


      Упражнения.
      Решить системы Ax = f методом простой итерации. Продолжать итерации до
      тех пор, пока xi
                               (k )
                                      − xi( k −1) не станет меньше указанного ε . Сравнить ответ с
      данными точными значениями неизвестных.
      1.




                                                                                               26