Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

24
()
()
()
()
1234
2134
3124
4123
1
14,1 2 0,5
20
1
15 2 2
10
1
25,7 3 3
15
1
38,8 4 2
24
x
xx x
xxxx
xxxx
x
xxx
=−−−
=−−−
=−−−
=−−−
Здесь
111
0
20 10 40
111
0
5105
11 1
0
15 5 5
111
0
61224
B
⎛⎞
−−−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−−−
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
−− −
⎜⎟
⎜⎟
−− −
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
,
14,1
20
1, 5
25,7
15
38,8
24
c
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Заметим, что коэффициенты полученной системы удовлетворяют условию
1B < .
В качестве нормы матрицы В рассмотрим первую кубическую норму
I
1
max
n
ij
i
j
B
B
=
=
∑
4
1
1
j
j
B
=
∑
=0,175<1,
4
2
1
j
j
B
=
∑
=0,5<1,
4
3
1
j
j
B
=
≈
∑
0,466<1,
4
4
1
j
j
B
=
≈
∑
0,125<1
Таким образом, сходимость итераций гарантирована. При этом
= 0,5. Так что
точность k-го приближения может быть оценена по формуле (4``) при 1
1
α
α
=
−
.
В качестве
(0)
x
возьмем элементы столбца св. членов, округлив их значения до
двух знаков после запятой:
(0)
0,72
1, 50
1, 71
1, 62
x
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Вычисления будем вести до тех пор, пока величины
() ( 1)kk
ii
xx
−
− (i=1,2,3,4) не
станут меньше
2
10
ε
−
= (обычно
ε
берется меньше, но мы задачу упростили).
Последовательно вычисляем при 1k
=
            1
      x1 =    (14,1 − x2 − 2 x3 − 0,5 x4 )
           20
            1
      x2 = (15 − 2 x1 − x3 − 2 x4 )
           10
            1
      x3 = ( 25,7 − x1 − 3 x2 − 3 x4 )
           15
            1
      x4 = ( 38,8 − 4 x1 − 2 x2 − x3 )
           24
                 ⎛           1       1         1 ⎞
                 ⎜ 0      −       −          −           ⎛ 14,1 ⎞
                            20      10        40 ⎟       ⎜ 20 ⎟
                 ⎜                               ⎟
                 ⎜ −1                1         1         ⎜      ⎟
                            0     −          − ⎟         ⎜ 1,5 ⎟
                 ⎜ 5                10         5 ⎟
      Здесь B = ⎜                                ⎟ , c = ⎜ 25,7 ⎟ .
                 ⎜− 1 −1                       1 ⎟       ⎜      ⎟
                                    0        −           ⎜  15 ⎟
                 ⎜ 15        5                 5 ⎟
                 ⎜ 1                             ⎟       ⎜ 38,8 ⎟
                             1       1                   ⎜      ⎟
                 ⎜−       −       −           0 ⎟        ⎝ 24 ⎠
                 ⎝ 6        12      24           ⎠

      Заметим, что коэффициенты полученной системы удовлетворяют условию
 B < 1.
      В качестве нормы матрицы В рассмотрим первую кубическую норму
                n
 B I = max ∑ Bij
           i
               j =1
       4                        4                4                      4
      ∑ B1 j =0,175<1, ∑ B2 j =0,5<1, ∑ B3 j            ≈ 0,466<1,     ∑ B4 j    ≈ 0,125<1
       j =1                     j =1             j =1                  j =1


      Таким образом, сходимость итераций гарантирована. При этом  α = 0,5. Так что
                                                                   α
точность k-го приближения может быть оценена по формуле (4``) при      = 1.
                                                                  1−α
                      (0)
       В качестве x возьмем элементы столбца св. членов, округлив их значения до
двух знаков после запятой:
                ⎛ 0,72 ⎞
                ⎜ 1,50 ⎟
      x (0)    =⎜      ⎟
                ⎜ 1,71 ⎟
                ⎜      ⎟
                ⎝ 1,62 ⎠
      Вычисления будем вести до тех пор, пока величины xi
                                                                (k )
                                                                       − xi( k −1) (i=1,2,3,4) не
                           −2
станут меньше ε = 10 (обычно ε берется меньше, но мы задачу упростили).
       Последовательно вычисляем при k = 1




                                                                                              24

Страницы