Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 38 стр.

                                       ⎛ 1       0 K      0     0 ⎞
                                       ⎜                             ⎟
                                       ⎜ 0       1 K      0     0 ⎟
                             M −1 = ⎜ K K K K                  K⎟
                               n−1
                                       ⎜                             ⎟
                                       ⎜ an1 an 2 K an n −1 ann ⎟
                                       ⎜ 0       0 K      0     1 ⎟⎠
                                       ⎝
      Этим заканчивается 1-й шаг преобразования. В результате получим матрицу
                                          ⎛ a111      1
                                                    a12   K a11 n −1     a11n ⎞
                                          ⎜                                      ⎟
                          −1              ⎜  K      K K        K         K ⎟
                   A1 = M A M = 1                                                  .
                          n−1      n−1    ⎜ an −11 a1n−12 K a1n −1 n −1 a1n −1 n ⎟
                                          ⎜⎜                                     ⎟
                                           ⎝ 0        0   K      1         0 ⎟⎠
      2-й шаг преобразований аналогичен первому и состоит в приведении
предпоследней строки матрицы A1 к виду Фробениуса при условии неизменности
последней ее строки. Предположим, что в                                             A1     элемент          a1n −2 n −1 ≠ 0 . Нужное
преобразование можно записать в форме
                                                                                ⎛ a112
                                                                                           K     a12n − 2       a12n −1      a12n ⎞
                                                                                ⎜                                                    ⎟
                                                                                ⎜ K        K       K              K           K ⎟
   A2 =   M −1 A1   M          =   M −1      M −1    AM             M         = ⎜ an2−21   K an2− 2 n − 2      an2−2 n −1   an2− 2 n ⎟
            n−2          n−2         n−2       n−1            n−1       n−2     ⎜                                                    ⎟
                                                                                ⎜ 0        K        1              0           0 ⎟
                                                                                ⎜ 0        K        0              1           0 ⎟⎠
                                                                                ⎝

          ⎛     1         K             0               0                     0            0  ⎞
          ⎜                                                                                   ⎟
          ⎜     0         K             0               0                     0            0  ⎟
          ⎜ K             K             K               K                     K            K  ⎟
          ⎜                                                                                   ⎟
M n−2   = ⎜ a1n −11                   a1n −1 n −3         1          a1n −1 n −1     a1n −1 n ⎟
          ⎜ − a1          K −
                                      a1n −1 n − 2   a1n −1 n − 2
                                                                    − 1
                                                                     an −1 n − 2
                                                                                   − 1
                                                                                    an−1 n− 2 ⎟
          ⎜ n −1 n − 2                                                                        ⎟
          ⎜     0         K              0                0             1             0       ⎟
          ⎜⎜                                                                                  ⎟⎟
           ⎝    0         K              0                0             0             1        ⎠
                                              ⎛ 1        0           K           0        0          ⎞
                                              ⎜                                                      ⎟
                                              ⎜ 0        1           K           0        0          ⎟
                                              ⎜ K       K            K          K        K           ⎟
                                   M n−−12   =⎜ 1       1                      1         1           ⎟
                                              ⎜ an −11 an −12        K an−1 n −1 an −1 n             ⎟
                                              ⎜ 0        0           K           1        0          ⎟
                                              ⎜⎜                                                     ⎟⎟
                                               ⎝ 0       0           K           0        1           ⎠
         Правило построения матриц M n − 2 и M n−−12 по                                           A1 аналогично правилу
построения M n −1 и M n−−11 по A . Эта аналогия сохраняется при всех следующих шагах.
                                                                                        n −1
           Таким образом, в регулярном случае, когда ann −1 ≠ 0, a1n −1 n − 2 ≠ 0, K , a21   ≠0,
после выполнения n − 1 шагов преобразований матрица A будет приведена к
каноническому виду Фробениуса




                                                                                                                                         38