Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

40
121
...
nn
SM M M
−−
=
.
Умножая
S
на собственный вектор
y
, получим для собственного вектора
x
матрицы
А выражение
121
...
nn
x
Sy M M M y
−−
==
Каждая матрица
i
M
(i=1,…,n-1) отличается от единичной матрицы только
одной строкой. При умножении вектора на
i
M
будет изменяться только одна
составляющая вектора. Поэтому в полученном выражении вектора
x
удобно
y
умножать на
12
, ,...MM последовательно.
Пример.
Задана матрица
11 12 13
21 22 23
31 32 33
211
321
122
aaa
Aa a a
aaa
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
==
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
Найти собственные числа и собственные векторы методом Данилевского.
Решение:
1
11 12 13
,100
010
ppp
Ф SAS Ф
−
⎛⎞
⎜⎟
==
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Матрицу
S находим путем последовательного приведения строк к
каноническому виду, начиная с последней строки. Считаем, что
1
0
nn
a
−
≠ . Разделим на
него (n-1)-й столбец матрицы A . Вновь полученный
(
)
1n
−
-й столбец умножим на
ni
a
и вычтем из столбца номера
i
. Проделав это для 1, 2, , 2,inn
−K , приведем
последнюю строку к виду Фробениуса. Такое преобразование равносильно умножению
матрицы
A справа на матрицу
1
31 33
12 2 2
32 32 32
1
2313233
100
100
111
1, det 0,5 0
22
001
001
100 100
122
0 0 1 001
n
aa
MM M M
aa a
Maaa
−
−
−
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
==− − =− − =≠⇒∃
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
==
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
2
100
211 20,50,5 11 1,50,5 0
11
321 1 31 1 21 2 1 1
22
122 11 1 22 0 1 0
001
AM
⎛⎞
−−+
⎛⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜⎟
=−−=−−+=−
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
−−+
⎜⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎝⎠
111
11 12 13
111
21 22 23
111
31 32 33
1
12 2
1 0 0 1,5 0,5 0 1,5 0,5 0
122 2 1 1 1,540,522 2
001 0 1 0 0 1 0
1, 5 0, 5 0
5, 5 4, 5 2
010
AMAM
aaa
aaa
aaa
−
⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
== −=+++−=
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=−=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
                                 S = M n−1 M n− 2 ...M 1 .
Умножая S на собственный вектор y , получим для собственного вектора x матрицы
А выражение
    x = Sy = M n −1 M n − 2 ...M 1 y
       Каждая матрица M i (i=1,…,n-1) отличается от единичной матрицы только
одной строкой. При умножении вектора на M i будет изменяться только одна
составляющая вектора. Поэтому в полученном выражении вектора x удобно y
умножать на M 1 , M 2 ,... последовательно.

      Пример.
      Задана матрица
          ⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎛ 2 1 1 ⎞
          ⎜             ⎟ ⎜         ⎟
      A = ⎜ a21 a22 a23 ⎟ = ⎜ 3 2 1 ⎟
          ⎜a            ⎟ ⎜         ⎟
          ⎝ 31 a32 a33 ⎠ ⎝ 1 2 2 ⎠
      Найти собственные числа и собственные векторы методом Данилевского.
      Решение:
                         ⎛ p11 p12 p13 ⎞
            −1           ⎜              ⎟
      Ф = S AS ,    Ф=⎜ 1       0    0 ⎟
                         ⎜ 0    1    0 ⎟⎠
                         ⎝
      Матрицу S находим путем последовательного приведения строк к
каноническому виду, начиная с последней строки. Считаем, что ann −1 ≠ 0 . Разделим на
него (n-1)-й столбец матрицы A . Вновь полученный ( n − 1) -й столбец умножим на ani
и вычтем из столбца номера i . Проделав это для i = 1, 2,K , n − 2, n , приведем
последнюю строку к виду Фробениуса. Такое преобразование равносильно умножению
матрицы A справа на матрицу
                   ⎛ 1        0      0 ⎞ ⎛ 1 0 0⎞
                   ⎜                      ⎟
                   ⎜   a31    1      a33 ⎟ ⎜⎜ 1 1   ⎟
    M n −1 = M 2 = −               −        = −   −1⎟ , det M 2 = 0,5 ≠ 0 ⇒ ∃ M 2 −1
                  ⎜ a32 a32          a32 ⎟ ⎜ 2 2    ⎟
                  ⎜⎜                     ⎟⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟
                   ⎝ 0        0      1 ⎠ ⎝          ⎠
             ⎛ 1     0     0 ⎞ ⎛1 0 0⎞
        −1   ⎜                ⎟ ⎜            ⎟
    M 2 = ⎜ a31 a32 a33 ⎟ = ⎜ 1 2 2 ⎟
             ⎜ 0     0     1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
             ⎝
                         ⎛ 1           0   0⎞
               ⎛ 2 1 1⎞⎜                      ⎟ ⎛ 2 − 0,5 0,5 −1 + 1 ⎞ ⎛ 1,5 0,5 0 ⎞
               ⎜       ⎟ 1             1         ⎜                   ⎟ ⎜            ⎟
        AM 2 = ⎜ 3 2 1 ⎟ ⎜ −               −1⎟ = ⎜ 3 − 1   1 −2 + 1 ⎟ = ⎜ 2   1 −1 ⎟
               ⎜1 2 2⎟⎜ 2              2      ⎟ ⎜
                                                   1−1     1 −2 + 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0   1  0 ⎟⎠
               ⎝       ⎠⎜ 0            0   1 ⎟⎠ ⎝
                         ⎝

                          ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛1,5 0,5 0 ⎞ ⎛ 1,5              0,5      0⎞
                    −1    ⎜          ⎟⎜             ⎟ ⎜                         ⎟
         A1 = M 2 AM 2 = ⎜ 1 2 2 ⎟ ⎜ 2         1 −1⎟ = ⎜ 1,5 + 4 0,5 + 2 + 2 −2 ⎟ =
                          ⎜0 0 1⎟⎜ 0           1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0            1      0 ⎟⎠
                          ⎝          ⎠⎝
           ⎛ 1,5 0,5 0 ⎞ ⎛ a11 a12 a13 ⎞
                                1    1    1

           ⎜             ⎟ ⎜                 ⎟
         = ⎜ 5,5 4,5 −2 ⎟ = ⎜ a121 a122 a123 ⎟
           ⎜ 0    1   0 ⎟⎠ ⎜⎝ a31
                                1    1
                                   a32    1 ⎟
                                        a33
           ⎝                                 ⎠

                                                                                        40

Страницы