Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 42 стр.

       Этот метод применим к для эрмитовым матрицам с комплексными элементами,
но для простоты рассмотрим действительные симметричные матрицы.
       Идея в преобразовании матриц к диагональной форме
       Любую симметричную действительную матрицу можно привести к
диагональному виду преобразованием подобия
                                             A = U ΛU −1 ,                                  (2)

где U – ортогональная матрица ( UU = E ) и Λ – диагональная, элементами которой
                                              T


являются собственные значения             λ 1 , ... , λ n матрицы A . Так как для ортогональной
                                                               −1
матрицы обратная совпадает с транспонированной ( U = U ), то (2) равносильно
                                                                       T


                                             U T AU = Λ                                     (3)
      Формула (3) дает возможность построить много алгоритмов для приближенного
вычисления матрицы Λ , отличающиеся между собой способами построения матрицы
U.
      Для использования равенства (3) нужно построить последовательность
ортогональных преобразований, позволяющих неограниченно уменьшать модули
недиагональных элементов матрицы A (т.е. стремиться получить в итоге матрицу Λ ).

      Рассмотрим один из алгоритмов, а именно метод вращений, т.к. он достаточно
прост по вычислительной схеме и обладает быстрой сходимостью– это итерационный
процесс, где на каждом шаге осуществляется такое преобразование подобия, что
(U   1
      T
          AU1   )   ij
                         = 0 – наибольший недиагональный элемент по абсолютной величине
обращается в 0. В качестве U1 выбирается матрица вращения. Т.к. матрица                      A
симметричная, то достаточно рассмотреть элементы выше главной диагонали.
                              ⎡1                            ⎤
                              ⎢ O                      0    ⎥
                              ⎢                             ⎥
                              ⎢    1                        ⎥
                              ⎢                             ⎥
                              ⎢      cos ϕ K − sin ϕ        ⎥ K (i )
            U1 = U i j (ϕ ) = ⎢        M   O    M           ⎥                               (4)
                              ⎢                             ⎥
                              ⎢      sin ϕ K cos ϕ          ⎥K( j )
                              ⎢                      1      ⎥
                              ⎢                             ⎥
                              ⎢  0                     O ⎥
                              ⎢⎢                         1⎥⎥⎦
                               ⎣
      Опред. Вещественные матрицы, отличающиеся от единичной матрицы,
четырьмя элеметами, расположенными на пересечении строк и столбцов с номерами
i, j и имеющими вид (4) (где в общем случае определения вместо cos ϕ может
стоять c и ниже ± c , аналогично вместо − sin ϕ стоять − s , и т.п., где
c 2 + s 2 = 1 ) называются матрицами вращения, в которой угол ϕ определяется из
условия, что наибольший недиагональный элемент после преобразования подобия =0
      Обозначим
                                           B1 = AU1 , B1 = ⎡⎣bi j ⎤⎦
           j -тый столбец произведения
                                                                                            42