Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

41
1
2111
AMAM
−
=
1
1
23
22
111
21 21 21
1
111
21 22 23
1
1
1
14,52
5, 5 5, 5 5, 5
01 0 010
00 1 001
5, 5 4, 5 2
010 010
001 001
a
a
aaa
M
aaa
M
−
⎛⎞
⎛⎞
−−
−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
==
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞
−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
==
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
11
1 4,5 2 1,5 4,5 3
1, 5 0, 5
1, 5 0, 5 0
5, 5 5, 5 5, 5 5, 5 5, 5 5, 5
5,5 4,5 2 0 1 0 1 4,5 4,5 2 2
010 0 0 1 0 1 0
1, 5 4 3
5, 5 5, 5 5, 5
100
010
AM
⎛⎞⎛ ⎞
−−⋅+
⎜⎟⎜ ⎟
⎛⎞
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟
=− =−+−=
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
1
2111
1, 5 4 3
5, 5 4, 5 2 1,5 4, 5 4 2 3 6 6 3
5, 5 5, 5 5, 5
010 1 0 0 1 0 0 100
001 0 1 0 0 1 0 010
AMAM Ф
−
⎛⎞
−
⎜⎟
−+−−−
⎛⎞ ⎛ ⎞⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟
== = = =
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠⎝⎠
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Т.к.
i
Фyy
λ
=
12 1
12
23
663 ,
,
.
n
i
i
i
y
yy y
y
y
y
y
λ
λ
λ
−+ − =
=
=
Так как собственный вектор находится заведомо с точностью до численного
множителя, можно положить
3
1y
=
. Тогда все составляющие вектора
y
найдутся
последовательно, начиная с последнего уравнения системы до первого, и для
y
получим
()
2
,1,
ii
y
λλ
=
По первой строке полученной матрицы
Ф составляется собственный многочлен
матрицы
А:
132
1
( ) ... 6 6 3 0
nn
nn
Ppp
λλ λ λ λ λ
−
=− −−=− +−=
Получили нелинейное уравнение, корни которого можно найти методом Ньютона или
методом простой итерации для нелинейных уравнений.
1.2 Итерационный метод вращений для решения полной проблемы собственных
чисел. 
                   −1
         A2 = M 1 A1M 1
               ⎛ 1         a122      a123 ⎞ ⎛ 1             4,5 2 ⎞
               ⎜ 1       −        −    1 ⎟ ⎜              −
                                                            5,5 5,5 ⎟
                             1
               ⎜ a21       a21       a21 ⎟
                                                 ⎜
                                                   5,5
                                                                         ⎟
         M1 = ⎜ 0          1         0 ⎟=⎜ 0                1        0 ⎟
               ⎜                            ⎟
               ⎜ 0         0         1 ⎟ ⎜⎜ 0               0        1 ⎟⎟
               ⎜                            ⎟ ⎜⎝                         ⎟
                                                                         ⎠
               ⎝                            ⎠
                 ⎛ a121 a122 a123 ⎞ ⎛ 5,5 4,5 −2 ⎞
                 ⎜                    ⎟ ⎜                       ⎟
         M 1−1 = ⎜ 0       1      0 ⎟=⎜ 0              1     0⎟
                 ⎜ 0
                 ⎝         0      1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0            0     1 ⎟⎠
                                          ⎛ 1         4,5 2 ⎞ ⎛ 1,5                 4,5             3 ⎞
                                          ⎜         −              ⎟   ⎜     −1,5 ⋅     + 0,5
                  ⎛ 1,5 0,5 0 ⎞ 5,5                   5,5 5,5            5,5        5,5            5,5 ⎟
                  ⎜                    ⎟  ⎜                        ⎟   ⎜                               ⎟
         A1M 1 = ⎜ 5,5 4,5 −2 ⎟ ⎜ 0                    1      0 ⎟=⎜ 1          −4,5 + 4,5         2 − 2⎟ =
                  ⎜ 0
                  ⎝          1      0 ⎟⎠ ⎜⎜ 0          0      1 ⎟⎟ ⎜⎜ 0              1              0 ⎟⎟
                                          ⎜                        ⎟ ⎜                                 ⎟
                                          ⎝                        ⎠ ⎝                                 ⎠
           ⎛ 1,5        4       3 ⎞
           ⎜ 5,5 − 5,5 5,5 ⎟
           ⎜                       ⎟
         =⎜ 1          0        0 ⎟
           ⎜ 0        1         0 ⎟⎟
           ⎜
           ⎜                       ⎟
           ⎝                       ⎠
                                              ⎛ 1,5       4       3 ⎞
                                              ⎜        −
                     ⎛ 5,5 4,5 −2 ⎞ 5,5                  5,5 5,5 ⎟ ⎛ 1,5 + 4,5 −4 − 2 3 ⎞ ⎛ 6 −6 3 ⎞
                     ⎜                     ⎟  ⎜                      ⎟ ⎜                         ⎟ ⎜         ⎟
A 2 = M 1−1 A1M 1 = ⎜ 0         1     0 ⎟⎜ 1             0        0 ⎟=⎜      1         0      0⎟ = ⎜ 1 0 0⎟ = Ф
                     ⎜ 0
                     ⎝          0     1 ⎟⎠ ⎜⎜ 0          1        0 ⎟⎟ ⎜⎝    0         1      0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 0 ⎟⎠
                                              ⎜                      ⎟
                                              ⎝                      ⎠

Т.к. Фy = λ i y
−6 y1 + 6 y2 − 3 yn = λ i y1 ,
                   y1 = λ i y2 ,
                   y2 = λ i y3 .
      Так как собственный вектор находится заведомо с точностью до численного
множителя, можно положить y3 = 1 . Тогда все составляющие вектора y найдутся
последовательно, начиная с последнего уравнения системы до первого, и для y
получим
              (
       y = λ i2 , λ i , 1 )
По первой строке полученной матрицы Ф составляется собственный многочлен
матрицы А:
                  Pn (λ ) = λ n − p1λ n −1 − ... − pn = λ 3 − 6λ 2 + 6λ − 3 = 0
Получили нелинейное уравнение, корни которого можно найти методом Ньютона или
методом простой итерации для нелинейных уравнений.

1.2 Итерационный метод вращений для решения полной проблемы собственных
чисел.

                                                                                                       41

Страницы