Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

43
(
)
()
()
11 1
22 2
sin cos
sin cos
sin cos
ji j
ji j
kj ki kj
ba a
ba a
ba a
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
=
−+
−+
−+
(5)
1
1
1
....
1
0
1
cos sin ( )
()
sin cos ( )
1
0
1
ij
ij
ii
UU
j
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
−
−
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
==
⎢⎥
−
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
O
KK
MOM
KK
O
Наибольший недиагональный элемент после преобразования подобия
приравниваем нулю
(
)
(
)
(1) 1
11
cos sin 0
ij jj
ij ij
AUAU b b
ϕϕ
−
==⋅+⋅=
Подставляем в это выражение из (5) значение
ij
b и получаем
(
)
(
)
(
)
(
)
()
cos sin cos sin sin cos 0
2
cos 2 sin cos
2
22
1
tg 2 arctg
2
ii ij ji jj
ij ii jj
ji ji
ii jj ii jj
aa a a
aaa
aa
aa aa
ϕϕϕϕ ϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
−+ + −+ =
=−
=⇒=
−−
Таким образом
ϕ
– угол при котором максимальный недиагональный элемент
обратился в 0. Получили новую матрицу
(1)
A
.
(1) 1
11
A
UAU
−
= – 1-ый шаг закончен.
2-й шаг – повторение предыдущего по отношению к матрице
(1)
A
.
Таким образом, по заданной матрице
будем строить последовательность
матриц
()
k
A
такую, что каждая следующая матрица
(
)
1k
A
+
получается из предыдущей
()
k
A
преобразованием подобия со следующей ортогональной матрицей вращения (или
матрица поворота осей i, j на угол
ϕ
):
(
)
(
)
1
1
kk
kk
A
UAU
+
−
=
Для исследования сходимости введем меру отклонения матрицы
от
диагональной:
2
,
()
ij
iji j
tA a
≠
=
∑
.
Верно равенство (если использовать
2
,
()
ij
iji j
tA a
≠
=
∑
и расписать) 
                                              b 1 j = a 1i( − sin ϕ ) + a1 j cos ϕ
                                              b 2 j = a 2i( − sin ϕ ) + a 2 j cos ϕ                                         (5)

                                              b kj = a ki( − sin ϕ ) + a kj cos ϕ
                                                                              i       ....             j
                           ⎡1                            ⎤
                           ⎢ O                      0    ⎥
                           ⎢                             ⎥
                           ⎢    1                        ⎥
                           ⎢                             ⎥
                          i⎢      cos ϕ K sin ϕ          ⎥ K (i )
         U1 = U i j (ϕ ) = ⎢                             ⎥
           −1  −1
                                     M    O   M
                           ⎢                             ⎥
                           ⎢      − sin ϕ K cos ϕ        ⎥K( j )
                           ⎢                      1      ⎥
                           ⎢                             ⎥
                           ⎢  0                     O ⎥
                           ⎢⎢                         1⎥⎥⎦
                            ⎣

         Наибольший          недиагональный                        элемент             после           преобразования   подобия
приравниваем нулю A         ( ) = (U
                               (1)
                                     ij
                                                     −1
                                                     1 AU1        )ij
                                                                          = cos ϕ ⋅ bij + sin ϕ ⋅ b jj = 0
         Подставляем в это выражение из (5) значение bij и получаем

             (                                       )                (
     cos ϕ aii ( − sin ϕ ) + aij cos ϕ + sin ϕ a ji ( − sin ϕ ) + a jj cos ϕ = 0                             )
                  2
     aij cos 2ϕ =
                  2
                        (                 )
                      aii − a jj sin ϕ cos ϕ

               2a ji                 1         2a ji
     tg 2ϕ =              ⇒ ϕ = arctg
             aii − a jj              2       aii − a jj
         Таким образом        ϕ – угол при котором максимальный недиагональный элемент
                                                                        (1)
обратился в 0. Получили новую матрицу A                                       .
         A (1)
                 = U1−1 AU1    – 1-ый шаг закончен.
                                                                                                                 (1)
         2-й шаг – повторение предыдущего по отношению к матрице A .
         Таким образом, по заданной матрице A будем строить последовательность
             (k )                                                                            ( k +1)
матриц A            такую, что каждая следующая матрица A                                              получается из предыдущей
  (k )
A преобразованием подобия со следующей ортогональной матрицей вращения (или
матрица поворота осей i, j на угол ϕ ):

                                                     A(
                                                          k +1)
                                                                  = U k−1 A( )U k
                                                                                  k


         Для исследования сходимости введем меру отклонения матрицы                                                      A от
диагональной: t ( A) =         ∑          aij2   .
                             i, j i≠ j

         Верно равенство (если использовать t ( A) =                                    ∑         aij2 и расписать)
                                                                                      i, j i≠ j

                                                                                                                             43

Страницы