Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 45 стр.

                                                                    ⎛0⎞ ⎛ 0 ⎞
        ⎛ λ1 0 ... 0 ⎞                                              ⎜0⎟ ⎜ 0 ⎟
        ⎜ 0 λ ... 0 ⎟                                               ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
      Λ=⎜       2         ⎟,                                Λei = Λ ⎜ M ⎟ = ⎜ M ⎟ = λ i ei
        ⎜ ... ... ... ... ⎟                                         ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
        ⎜⎜                ⎟⎟                                        ⎜1⎟ i ⎜λ i ⎟
         ⎝ 0 0 0 λn ⎠                                               ⎜0⎟ ⎜ 0 ⎟
                                                                    ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
      Собственные числа матрицы A –                                λi , но мы получили приближение к
                                                                                                     (k )
диагональной матрице отсюда следует, что собственные числа матрицы A – aii , что
                                                              (k )
собственные векторы матрицы A – Uei ⇔ aii                            ≈ λi aii( k )
            ⎛ u11 u12                 ... u1n ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ u1i ⎞
            ⎜u     u                  ... u2 n ⎟⎟ ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ⎜⎜ u2i ⎟⎟
      Uei = ⎜ 21 22                                       =
            ⎜ ... ...                 ... ... ⎟ ⎜ 1 ⎟ i ⎜ ... ⎟
            ⎜⎜                                  ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
             ⎝ un1 un 2               ... unn ⎟⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎜⎝ uni ⎟⎠
      То есть i-тому собственному числу будет соответствовать i-тый столбец
матрицы U (определяющий собственный вектор).

      Пример: Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А методом
вращения.
          ⎛ 3 2 1 ⎞ i =1                         ⎛ cos ϕ     − sin ϕ        0 ⎞ i =1
     A = ⎜⎜ 2 3 1 ⎟⎟                       U1 = ⎜⎜ sin ϕ     cos ϕ          0 ⎟⎟ –матрица вращения осей i j
          ⎜ 1 1 3⎟                               ⎜ 0            0           1 ⎟⎠
          ⎝        ⎠                             ⎝
                                                                                              (i = 1, j = 2)

                      2aij            2⋅2          π
      tg 2ϕ =                     =       = ∞ ⇒ϕ =
                 aii − a jj           3−3          4
            ⎛    1           1         ⎞                ⎛ 1            1      ⎞
            ⎜           −             0⎟                ⎜ 2                  0⎟
            ⎜     2           2        ⎟                ⎜               2     ⎟
      U1 = ⎜⎜    1          1          ⎟
                                      0⎟          U1 = ⎜⎜ − 1
                                                   T                   1      ⎟
                                                                             0⎟
                  2          2                               2          2
            ⎜                          ⎟                ⎜                     ⎟
            ⎜⎜   0          0         1⎟                ⎜⎜ 0           0     1⎟
                                       ⎟                                      ⎟
             ⎝                         ⎠                 ⎝                    ⎠

                         ⎛            1           1     ⎞ ⎛ 3+ 2     −3+ 2   ⎞ ⎛ 5      −1    ⎞
                         ⎜                   −         0⎟ ⎜                 1⎟ ⎜             1⎟
             ⎛ 3 2 1⎞ ⎜                2           2    ⎟ ⎜ 2           2    ⎟ ⎜ 2       2    ⎟
                                                        ⎟ ⎜ 2+3              ⎟ ⎜ 5            ⎟
       AU1 = ⎜⎜ 2 3 1 ⎟⎟ ⎜⎜           1          1
                                                       0⎟ = ⎜
                                                                     −2 + 3
                                                                            1⎟ = ⎜
                                                                                        1
                                                                                             1⎟
              ⎜        ⎟               2          2           2         2    ⎟ ⎜ 2       2
             ⎝ 1 1 3⎠ ⎜                                 ⎟ ⎜                                   ⎟
                         ⎜            0          0     1⎟ ⎜ 2                ⎟ ⎜ 2            ⎟
                         ⎜                              ⎟ ⎜            0    3⎟ ⎜        0    3⎟
                         ⎝                              ⎠ ⎝ 2                ⎠ ⎝ 2            ⎠




                                                                                                            45