Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

47
Все методы решения частичной проблемы собственных чисел являются
итерационными.
Определение наибольшего по модулю собственного значения.
Предположим, что матрица А имеет n-линейно-независимых собственных
векторов
Напомним, что
A
ee
λ
=
⋅
v
v
, (*)
где
e
r
– собственный вектор линейного оператора А,
λ
– собственное число
Пусть СЧ расположены в порядке убывания:
12
....
n
λ
λλ
≥≥≥
12
....
n
ee e
rr r
– СВ
Итерационный метод нахождения
max
λ
1) Возьмем
(0)
x
– произвольный вектор и образуем последовательность
векторов:
(1) (0) ( 2) (1) ( ) ( 1)
, ,....,
kk
xAx x Ax x Ax
== =
(
)
{{
лин
(0)
11 1 1 1 11
.... ... ...
СЗ
nn n n n nn
A
x A e e Ae Ae e e
α
αα ααλ αλ
=++=++=++
Разложим по СВ (т.е. по системе линейно-независимых векторов)
(0)
11 2 2
(1) (0)
111 2 22
() ( 1)
111 2 22
...
...
........................................................................
...
nn
nnn
kk k k k
nnn
xee e
xAx e e e
x
Ax e e e
αα α
αλ αλ αλ
α
λαλ αλ
−
=+ ++
== + ++
==+++
Идея основана на том, что
1
λ
– наибольшее
Отметим, что
(
)
и 1, ,
i
ik
i
xe= – векторы, но знак вектора мы опускаем.
Запишем
s – тую компоненту (отличную от 0) (ограничение
11
0, 0
s
e
α
≠≠)
()
111 2 22
(1)
11 1
11 1 2 2 2
...
...
k
kk k
sssnnns
k
kk k
s
ssnnns
xee e
x
ee e
αλ αλ α λ
αλ αλ αλ
+
++ +
=+ ++
=+ ++
1
(1)
11 1
111
22 3
1
1
()
111 2 2
1
3
1
1 ...
11...
n
k
k
ii is
k
kk k
s
s n
i
kn k k k
k
sn
s
iiis
i
s
sns
sns
e
e
x
e
x
e
αλ
αλ
μ
γμγ μγ
λ
αλ μγ μγ
αλ
+
+
++ +
=
=
⎧⎫
++++
⎪⎪
===
⎨⎬
+++
⎪⎪
⎩⎭
∑
∑
где
111
,
i
iis
iis
s
e
e
λ
α
μγ
λα
==
а) Рассмотрим случай
12
....
n
λ
λλ
>≥≥. Тогда все 1
i
μ
< при достаточно
больших
k подчеркнутая дробь будет близка к 1.
Получаем приближенное максимальное СЧ:
()
()
1
1
(1)
k
s
k
s
x
k
x
λ
+
≈>> 
       Все методы решения частичной проблемы собственных чисел являются
итерационными.
       Определение наибольшего по модулю собственного значения.
       Предположим, что матрица А имеет n-линейно-независимых собственных
векторов
       Напомним, что
                                         v       v
                                        Ae = λ ⋅ e ,                    (*)
    r
где e – собственный вектор линейного оператора А, λ – собственное число
       Пусть СЧ расположены в порядке убывания:
         λ1 ≥ λ2 ≥ .... ≥ λn
        r     r           r
        e1    e2 .... en – СВ
        Итерационный метод нахождения                            λ max
      1) Возьмем                    x (0) – произвольный вектор и образуем последовательность
векторов:
        x (1) = Ax (0) ,            x (2) = Ax (1) ,...., x ( k ) = Ax ( k −1)
         Ax (0) = A (α1e1 + .... + α nen ) =
                                           { α1 Ae1 + ... + α n Aen =
                                                                    { α1λ1e1 + ... + α nλ nen
                                                       лин                         СЗ


        Разложим по СВ (т.е. по системе линейно-независимых векторов)
        x (0) = α1e1 + α 2e2 + ... + α nen
        x (1) = Ax (0) = α1λ1e1 + α 2λ 2e2 + ... + α nλ nen
        ........................................................................
        x ( k ) = Ax ( k −1) = α1λ1k e1 + α 2λ 2k e2 + ... + α nλ nk en
        Идея основана на том, что λ1 – наибольшее
                                     (i )
        Отметим, что x     ei , i = 1,k – векторы, но знак вектора мы опускаем.
                                            и
        Запишем s – тую компоненту (отличную от 0) (ограничение α1 ≠ 0, e1s ≠ 0 )
        xs ( k ) = α1λ1k e1s + α 2λ 2k e2 s + ... + α nλ nk ens
        xs ( k +1) = α1λ1k +1e1s + α 2λ 2k +1e2 s + ... + α nλ nk +1ens
                             n

         xs   ( k +1)       ∑αiλik +1eis         ⎧⎪1 α1λ1k e1s ⎫⎪      1 + μ 2k +1γ 2 s + μ3k +1γ 3s + ... + μ nk +1γ ns
                            i =1
                        =                       =⎨              ⎬ = λ1
          xs ( k )             n
                                                    1 α λ k
                                                            e
                                                  ⎩⎪ 1 1 1s ⎭⎪                   1 + μ 2kγ 2 s + ... + μ nkγ ns
                            ∑αiλik eis
                             i =1
             λi         αe
где   μi =      , γ is = i is
             λ1         α1e1s
        а) Рассмотрим случай                     λ1 > λ2 ≥ .... ≥ λn . Тогда все μi < 1 при достаточно
больших k подчеркнутая дробь будет близка к 1.
     Получаем приближенное максимальное СЧ:
         xs ( k +1)
                        ≈ λ1 (k >> 1)
          xs ( k )


                                                                                                                    47

Страницы