Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

46
11 51 55112
01 2
50
22
22 22 2
2
11 51 5511
01 0010
11 1
22
22 22
2
2
03
0012
03
03
2
2
2
T
A
UAU A
⎛⎞
⎛⎞
−+−+
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−+ +
⎜⎟
⎜⎟
−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
====
50
010
03
1
22 cos 0 sin 1
01 0
12
sin 0 cos 3
22
i
i
AU
j
ϕϕ
ϕϕ
=
−
=
==
=
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
(i=1,j=3)
22
22
2
2
22
tg 2 2
53 2
2
ij
ii jj
a
aa
ϕ
⋅⋅
=====
−−
1
arctg 2 0,4777658 27 37
2
cos(0,4777658...) 0,89 sin(0,4777658...) 0,46
ϕ
′
=≈ ⇒
≈≈
o
22
0,89 0,46 0,7921 0,2116 1,0037+= + = – погрешность округления
2
1
50
cos 0 sin 1
2
010 0 1 0
12
2sin0cos3
03
2
i
i
AU
j
ϕϕ
ϕϕ
⎛⎞
=
⎜⎟
−
=
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
==
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=
⎝⎠
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
5 0 1,41 0,89 0 0,46 5 0,89 1,41 0,46 0 5 0,46 1,410,89 5,1 0 1,05
010 0 1 0 0 1 0 0 1 0
12
1,41 0 3 0,46 0 0,89 1,41 0,89 3 0,46 0 1,41 0,46 3 0,89 2,63 0 2,02
AU
⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
− ⋅ +⋅ −⋅ +⋅ −
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
=≈
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⋅+⋅ −⋅+⋅
⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
=
0,89 0 0,46 5,1 0 1,05
1
010 010
212
0,46 0 0,89 2,63 0 2,02
0,89 5,1 0,46 2,63 0 0,891,05 0,46 2,02 5,7488 0 0,0053
01 0 010
0,46 5,1 0,89 2,63 0 0,46 ( 1,05) 0,89 2,02 0,0053 0 2,2808
UAU
⎛⎞⎛⎞
−
⎜⎟⎜⎟
−
=
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞
⋅+ ⋅ − ⋅ + ⋅ −
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
−⋅+⋅ −⋅− +⋅ −
⎝⎠
=
2
A
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Видно, что с увеличением итераций недиагональные элементы стремятся к 0.
123
5,7488 1 2,2808
λ
λλ
≈≈≈– приближенные собственные значения
матрицы
А
Мера отклонения
()
(
)
()
2
22
25
2 0,0053 5,6 10
ij
ij
tA a
−
≠
⎡⎤
==⋅=⋅
⎣⎦
∑
2. Частичная проблема собственных чисел
– это нахождение либо (чаще) максимальных по модулю значений СЧ, либо (реже)
минимальных по модулю. 
                 ⎛ 1                1           ⎞⎛    5    −1    ⎞     ⎛ 5+5     −1+1        2 ⎞
                                                                                                     ⎛
                 ⎜ 2                           0⎟ ⎜             1⎟     ⎜                       ⎟                  2 ⎞
                                                                                                     ⎜   5    0     ⎟
                 ⎜                   2          ⎟⎜     2    2    ⎟     ⎜ 2        2           2⎟
                                                                                                                   2⎟
                                                                                                     ⎜
                                                ⎟⎜               ⎟
       AU1 AU1 = ⎜⎜ − 1
         T                          1
                                               0⎟ ⎜
                                                      5    1
                                                                1⎟   = ⎜⎜ −5+5   1+1           ⎟
                                                                                             0 ⎟    =⎜   0    1   0 ⎟    = A1
                       2             2                 2    2           ⎜ 2       2                  ⎜               ⎟
                  ⎜                             ⎟⎜               ⎟                              ⎟
                                                                                                     ⎜   2
                                               1⎟ ⎜              ⎟      ⎜ 2                                       3 ⎟⎟
                                                                                             3 ⎟⎟
                  ⎜  0              0                 2                                              ⎜        0
                  ⎜                             ⎟⎜         0    3⎟      ⎜            0               ⎝    2         ⎠
                  ⎝                             ⎠⎝     2         ⎠      ⎝ 2                     ⎠

                                               i =1
          ⎛       5        0   2        2⎞                     ⎛ cos ϕ           0       − sin ϕ ⎞ i = 1
          ⎜                                ⎟
       A =⎜       0        1        0      ⎟                U =⎜ 0               1          0  ⎟
        1                                                    2 ⎜                               ⎟
          ⎜2                               ⎟                   ⎜ sin ϕ                         ⎟
                                                                                         cos ϕ ⎠ j = 3
          ⎝            2   0        3      ⎠                   ⎝                 0

      (i=1,j=3)
                             2         2
                               2⋅ 2⋅
                 2aij         2 =       2 = 2 = 2
      tg 2ϕ =            =
              aii − a jj   5−3       2       2
          1
      ϕ = arctg 2 ≈ 0, 4777658 ⇒ 27o37′
           2
      cos(0,4777658...) ≈ 0,89       sin(0,4777658...) ≈ 0,46
        0,892 + 0,462 = 0,7921 + 0, 2116 = 1,0037 – погрешность округления
             ⎛        2 ⎞
                           i =1
             ⎜ 5  0      ⎟
                       2               ⎛ cos ϕ 0 − sin ϕ ⎞ i = 1
            ⎜            ⎟             ⎜
       A1 = ⎜ 0 1 0 ⎟            U2 = ⎜ 0       1      0 ⎟⎟
            ⎜ 2          ⎟             ⎜ sin ϕ 0 cos ϕ ⎟ j = 3
            ⎜⎜    0 3 ⎟  ⎟             ⎝                  ⎠
             ⎝ 2         ⎠
       ⎛ 5 0 1,41⎞ ⎛ 0,89 0 −0,46 ⎞ ⎛ 5⋅0,89+1,41⋅0,46 0 −5⋅0,46+1,41⋅0,89 ⎞ ⎛ 5,1 0 −1,05 ⎞
       ⎜         ⎟⎜               ⎟ ⎜                                      ⎟ ⎜             ⎟
 1 2 = ⎜ 0 1 0 ⎟⎜ 0
AU                        1   0 ⎟=⎜          0         1         0         ⎟≈⎜ 0   1   0 ⎟
       ⎜1,41 0 3 ⎟ ⎜ 0,46 0 0,89 ⎟ ⎜ 1,41⋅0,89+3⋅0,46 0 −1,41⋅0,46+3⋅0,89 ⎟ ⎜ 2,63 0 2,02 ⎟
       ⎝         ⎠⎝               ⎠ ⎝                                      ⎠ ⎝             ⎠

                        ⎛ 0,89 0 0,46 ⎞ ⎛ 5,1 0 −1,05 ⎞
      U 2−1 AU
             1 2      = ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ =
                         ⎜ −0,46 0 0,89 ⎟ ⎜ 2,63 0 2,02 ⎟
                         ⎝              ⎠⎝              ⎠
       ⎛ 0,89⋅5,1+ 0,46⋅2,63 0   −0,891,05
                                        ⋅   + 0,46⋅2,02 ⎞ ⎛ 5,7488 0 −0,0053 ⎞
       ⎜                                                  ⎟ ⎜                  ⎟
       ⎜          0           1             0             ⎟=⎜    0    1    0 ⎟ = A2
       ⎜ −0,46⋅5,1+ 0,89⋅2,63 0 −0,46⋅( −1,05)+ 0,89⋅2,02 ⎟ ⎜ −0,0053 0 2,2808 ⎟
       ⎝                                                  ⎠ ⎝                  ⎠
      Видно, что с увеличением итераций недиагональные элементы стремятся к 0.
      λ1 ≈ 5,7488 λ 2 ≈ 1 λ 3 ≈ 2,2808 – приближенные собственные значения
матрицы А

                                   ( )
                                                                2
                                        ( 2)
                                                = ∑ ⎡ aij( ) ⎤ = 2 ⋅ 0,00532 = 5,6 ⋅ 10−5
                                                          2
      Мера отклонения           t A
                                                  i≠ j
                                                       ⎣     ⎦
       2. Частичная проблема собственных чисел
– это нахождение либо (чаще) максимальных по модулю значений СЧ, либо (реже)
минимальных по модулю.
                                                                                                                  46

Страницы