ВУЗ:
Составители:
44
(
)
(
)
(
)
2
(1) () ()
2
kkk
ij
tA tA a
+
=− (6)
Что происходит с мерой отклонения за 1 шаг
Пусть
() ()
,:
max
kk
ij
ml
mlm l
aa
≠
= – наибольший недиагональный элемент и он
предполагается отличным от 0, верно неравенство
(
)
(
)
(1) ()kk
tA tA
+
< , и мера
(
)
()k
tA
уменьшается при переходе к
(1)k
A
+
. Что касается скорости стремления
()k
A
к
0, то по выбору элемента
k
ij
a справедливо неравенство
(
)
(
)
2
() ()
(1) ( 2)
kk
ij
tA nn a n
≤
−> (7)
Т.к. в сумме
2
ml
ml
a
≠
∑
содержится (1)nn
−
слагаемых
2
ml
a
,
(
)
()
2
2
max
ij ml
ml
aa
≠
= Это
очевидное неравенство (n>2 иначе метод вращения к матрице второго порядка нечего и применять).
Из (7) следует
()
(
)
()
2
()
(1)
k
k
ij
tA
a
nn
≥
−
(8)
С помощью этого неравенства (8) из (6) получается
(
)
(
)
(
)
(
)
()
(
)
(
)
2
(1) () () () () ()
1, т.к. 2
2
2,
1
kkkk kk
ij
n
tA tA a tA tA qtA
nn
+
<>
=− ≤− =
−
14243
2
1
(1)
q
nn
=−
−
при этом
0q<1≤ ввиду n2≥ . Отсюда возникает цепь неравенств
(
)
(
)
(
)
(
)
() ( 1) 2 ( 2) (0)kk k k
tA qtA qtA qtA
−−
≤≤ ≤≤K ,
и т.к.
(0)
A
A= , то для
(
)
()k
tA будем иметь оценку
(
)
()
()kk
tA qtA≤
Отсюда вытекает, что
(
)
()
()
0
k
tA k→→∞
Таким образом
()
111
21 12
.... ...
k
kk
k
AUUUAUUU
−−−
→∞
=→Λ
Следовательно, сходимость метода вращения мы доказали. Буем считать, что
при
()
1
k
kA
≈
Λ , а последовательность матриц
12
...
k
k
UU U U
→∞
→
(
)
1
UAU
−
=Λ . Итак, будем считать, что нашли матрицу U , с помощью которой
матрицу
A
можно преобразовать к диагональной.
Как решается проблема собственных чисел у диагональной матрицы:
( ) ( ) ( )
2
t A( k +1) = t A( k ) − 2 aij( k ) (6)
Что происходит с мерой отклонения за 1 шаг
(k ) (k )
Пусть aij = max aml – наибольший недиагональный элемент и он
m ,l:m≠l
предполагается отличным от 0, верно неравенство t A ( ( k +1)
) < t(A ),
(k )
и мера
( )
t A( k ) уменьшается при переходе к A( k +1) . Что касается скорости стремления A( k ) к
k
0, то по выбору элемента aij справедливо неравенство
( ) ( )
2
t A( k ) ≤ n(n − 1) aij( k ) (n > 2) (7)
( )
2
∑ aml2 = max ( aml )
2 2
Т.к. в сумме содержится n(n − 1) слагаемых aml , aij Это
m ≠l
m ≠l
очевидное неравенство (n>2 иначе метод вращения к матрице второго порядка нечего и применять).
Из (7) следует
(
t A( k ) )
(a )
2
(k )
ij ≥ (8)
n(n − 1)
С помощью этого неравенства (8) из (6) получается
( ) ( ) ( ) ( ) 2
( ) ( )
2
t A( k +1) = t A( k ) − 2 aij( k ) ≤ t A( k ) − t A( k ) = qt A( k ) ,
n ( n − 1)
1424 3
<1, т.к. n>2
2
q =1−
n(n − 1)
при этом 0 ≤ q<1 ввиду n ≥ 2 . Отсюда возникает цепь неравенств
( ) ( ) (
t A( k ) ≤ qt A( k −1) ≤ q 2t A( k −2) ≤ K ≤ q k t A(0) , ) ( )
и т.к. A
(0)
( )
= A , то для t A( k ) будем иметь оценку
( )
t A( k ) ≤ q k t ( A )
Отсюда вытекает, что t A ( (k )
) → 0 (k → ∞)
Таким образом
A( ) = U k−1....U 2−1U1−1 AU1 U 2 ...U k → Λ
k
k →∞
Следовательно, сходимость метода вращения мы доказали. Буем считать, что
при k 1 A( k ) ≈ Λ , а последовательность матриц U1 U 2 ...U k → U
k →∞
(U −1
)
AU = Λ . Итак, будем считать, что нашли матрицу U , с помощью которой
матрицу A можно преобразовать к диагональной.
Как решается проблема собственных чисел у диагональной матрицы:
44
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
