Методы вычислений. Часть I. Численные методы алгебры. Курцева К.П - 39 стр.

                       A n −1= M 1−1 M 2−1 K M n−−11 A M n −1 M n −2 K M 1 = S −1 AS =
                           n −1  n −1
                        ⎛ a11   a12            K a1nn−−11 a1nn−1 ⎞ ⎛ p1 p2 K                pn −1 pn ⎞
                        ⎜                                        ⎟ ⎜                                 ⎟
                           1     0             K    0       0 ⎟ ⎜1 0 K                       0    0⎟
                       =⎜                                         =                                    =Ф
                        ⎜ K      K             K K         K ⎟ ⎜K K K                       K K⎟
                        ⎜⎜                                       ⎟ ⎜                                 ⎟
                         ⎝ 0     0             K   1        0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 K                    1    0 ⎟⎠

       По первой строке полученной матрицы Ф                                            составляется собственный
многочлен A : Pn ( λ ) = λ n − p1λ n −1 − ... − pn .
         Требования aik+1i ≠ 0 всегда можно добиться путем перестановок строк и
столбцов (обычно на это место ставят наибольший элемент в строке).
       Это наиболее экономичный метод, порядок операций n3 .
      Вычисление собственных векторов.
       Определив собственные значения λ i (i = 1,..., n) матрицы                                      A,    то   ее
собственные векторы могут быть найдены путем решения однородных систем
 Ax = λ i x . Но если построена матрица S , с помощью которой A приводится к виду
Фробениуса Ф = S −1 AS , то нахождение собственных векторов, как было доказано
выше, значительно упрощается. Так как собственные значения матриц Ф и A
совпадают (т.к. эти матрицы подобны), то найдя собственные векторы матрицы Ф ,
легко найти собственные векторы матрицы A (см. (1)).
        Итак, считаем λ i (i = 1,..., n) известными. Ф = S −1 AS . Найдем собственные
векторы матрицы Ф , запишем систему уравнений
    Фy = λ i y
в развернутом виде
       ⎛ p1 p2 K pn −1 pn ⎞ ⎛ y1 ⎞     ⎛ y1 ⎞
       ⎜                    ⎟⎜ ⎟       ⎜ ⎟
       ⎜1    0 K 0        0 ⎟ ⎜ y2 ⎟      y
                                     =λ⎜ 2⎟
       ⎜ K K K K K ⎟ ⎜ ... ⎟           ⎜ ... ⎟
       ⎜⎜                   ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟   ⎜⎜ ⎟⎟
        ⎝ 0 0 K 1         0 ⎠ ⎝ yn ⎠    ⎝ yn ⎠
В составляющих вектора y система имеет вид:
                                            p1 y1 + p2 y2 + ... + pn yn = λ i y1 ,
                                                                     y1 = λ i y2 ,
                                                                    ................
                                                                     yn −1 = λ i yn .

      Так как собственный вектор находится заведомо с точностью до численного
множителя, можно положить yn = 1 . Тогда все составляющие вектора y найдутся
последовательно, начиная с последнего уравнения системы до первого, и для y
получим
             (                          )
       y = λ in −1 , λ in − 2 ,..., λ i , 1
       Первое уравнение системы (2) приведется к равенству
    p1λ in −1+ p2 λ in − 2 + ... + pn = λ in
и будет удовлетворяться, т.к. λ i есть корень собственного многочлена Pn (λ ) матрицы
A.
      В регулярном случае (см. выше) для матрицы S получается представление вида

                                                                                                                 39