Системы управления глубиной погружения буксируемых объектов: Монография. Кувшинов Г.Е - 37 стр.

      Одна составляющая продольной силы Т вызывает упругую деформацию в
соответствии с законом Гука, а другая - сила внутреннего трения, которую, как
правило, полагают пропорциональной скорости деформации и площади попе-
речного сечения троса, согласно гипотезе Фогта [1]. Продольная сила изменяется
по длине троса из-за распределенных вдоль него сил инерции и сил внешнего со-
противления, обусловленных трением троса о воду. Последние обычно считают
пропорциональными первой степени скорости поперечных сечений троса [1, 6].
      С учетом всех допущений продольные колебания поперечного сечения
троса описываются следующей системой дифференциальных уравнений:

                                       ∂x         ∂2 x
                          T = ET ⋅ F ⋅ + λ ⋅ F ⋅
                                       ∂z        ∂z ⋅ ∂t
                                                                           (2.13)
                          ∂T       ∂ z
                                     2
                                           ∂x
                              = m⋅ 2 + β ⋅ ,
                          ∂z        ∂t     ∂t

      где Ет - модуль упругости троса; F - площадь поперечного сечения троса; х -
перемещение поперечного сечения троса в направлении продольной оси троса Oz,
начало которой совпадает с его верхним концом; λ - множитель, определяющий
силу внутреннего трения; m - масса единицы длины троса; β - коэффициент сопро-
тивления единицы длины троса, учитывающий его трение о воду.
      Модуль упругости троса меньше, чем у образца материала, из которого он
сделан. При расчетах колебаний стальных тросов под нагрузкой рекомендуется
принимать Ет =1,65⋅105 МПа согласно [3, 6]. Площадь сечения троса F равна сум-
марной площади поперечных сечений проволок.
      Используем полученный в предыдущем разделе вывод, что отношение ко-
                                                       ∂ 2 xг   ∂x
эффициентов первого уравнения в системе (2.13) при             и г равно посто-
                                                       ∂z ⋅ ∂t  ∂z
янной времени внутреннего трения τтр. Тогда λ = ЕТ∙F∙τтр. Подстановкой этого
выражения в указанное уравнение

                                         ∂x        ∂2x 
                          T = ET ⋅ F ⋅  + τ тр ⋅          .
                                                                          (2.14)
                                         ∂ z      ∂z ⋅ ∂ t 

    Применив к уравнениям (2.13) и (2.14) преобразование Лапласа [7, 8], получим

                          ∂T
                              = m ⋅ s 2 ⋅ x( z, s ) + β ⋅ s ⋅ x( z, s),
                          ∂z
                                                                           (2.15)
                                                         ∂x( z, s )
                          T = ET ⋅ F ⋅ (1 + τ тр ⋅ s) ⋅             ,
                                                             ∂z

     где s - комплексная переменная, аргумент изображений функций времени с
помощью преобразования Лапласа.