Устойчивое развитие: Научные основы проектирования в системе природа-общество-человек. Кузнецов О.Л - 137 стр.

      Однако, как известно тоже около двухсот лет в философии, каждому
ПОЛОЖЕНИЮ соответствует некоторое ПРОТИВОПОЛОЖЕНИЕ (по-
немецки первому соответствует термин «Satz», а второму «Gegensatz»), что
предполагает НЕОБХОДИМОСТЬ рассматривать КАЖДОЕ положение
вместе с его противоположением. Если классические аксиомы геометрии,
как систему предположений, отождествить с именами творцов математики,
то мы получим СДВОЕННЫЕ геометрии: Евклидова и не-евклидова, Ар-
химедова и не-архимедова, Дезаргова и не-дезаргова, Паскалева и не-
паскалева, и т.д.
      Первый шаг к рассмотрению «категориальных пар» в математике
был совершен Н.И.Лобачевским и Я.Бойяи. Но это и был тот шаг, который
демонстрирует ПЕРЕХОД от традиционной математической логики к ло-
гике диалектической. Про последнюю наговорено столько нелепостей, что
о ее значении для МАТЕМАТИКИ почти ничего не известно. Диалекти-
ческая логика — это логика, которая относится ТОЛЬКО к аксиомам
или ПРЕДПОЛОЖЕНИЯМ математических теорий. Лучше всего об
этом писал Н.И.Лобачевский:
      «Общая логика называется также АНАЛИТИКОЮ, равно как и
прикладная логика — ДИАЛЕКТИКОЮ» [144, c. 581].
      В этой же работе он демонстрирует полное понимание, что матема-
тические следствия из математических предположений всегда были,
есть и будут «истинными в математическом смысле». Но наличие
ВОЗМОЖНОГО противоречия выводов из математической теории с
реальностью только указывает, что мы используем теорию за грани-
цами нами же установленных ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ.
      Любое высказывание, утверждение или ПОЛОЖЕНИЕ, выска-
занное на естественном языке, не является той ЛОГИЧЕСКОЙ
ФОРМОЙ, в которой выражается ИСТИНА. Всякая исходная логиче-
ская форма, содержащая ПРОТИВОРЕЧИЕ, является той формой, в кото-
рой фиксируется «исходная правильная формула». Мы это демонстрирова-
ли в виде трех формул в начале этого раздела:
                    1 + 1 = 2; 1 + 1 = 1; 1 + 1 = 0.
      Математический СМЫСЛ этих трех утверждений весьма прост. Пер-
вая формула принадлежит арифметике. Вторая — это формула алгебры
Буля, утверждающая, что «универсальное множество (обозначенное как
“1”) будучи сложено с самим собой — есть то же самое универсальное
множество». Третья формула определяет сложение по модулю 2.
      Наличие работ с высказыванием, или положением, которое имеет
вид математической аксиомы, сопровождает процесс ОСМЫСЛИВАНИЯ:
                                  137