Устойчивое развитие: Научные основы проектирования в системе природа-общество-человек. Кузнецов О.Л - 475 стр.

Продолжим знакомство с этим предисловием, которое было написано ещё
в 1939 году:
      «Дело, однако не в отдельных дефектах: а в том, что отрыв в
школьном преподавании математических понятий от их происхожде-
ния приводит к полной беспринципности и логической дефектности
курса. Лебег прав, когда утверждает, что, например, старые учебники,
считавшие понятие площади чем-то ясным и само собою разумею-
щимся, стояли выше, чем некоторые современные, которые предла-
гают «условиться» назвать площадью круга такой-то предел. Создание
на почве выкристаллизовавшихся из практики понятий формальных опре-
делений на своём месте имеет смысл, но только тогда, когда это будут оп-
ределения общих понятий. Имеет смысл дать формальное определение
площади вообще, вывести из этого определения общие свойства площадей
и доказать, что в применении к кругу общее определение приводит к тако-
му-то результату. Но бессмысленно «уславливаться», что понимать под
площадью отдельных фигур, так как причина именно этих «соглашений»
остается не раскрытой.
      Поднимаясь к современным исследованиям о понятиях длины кри-
вой, площади поверхности и интеграла, Лебег показывает, как уже в чисто
научной области забвение реального происхождения понятий может
сбить с пути исследователя. На примере своих собственных открытий
Лебег старается показать, как тесно связаны с анализом реальных про-
цессов измерения. Таким образом в центре внимания на протяжении всей
книги Лебега стоит борьба за возвращение математическим понятиям
их первоначального материального содержания. В этой борьбе я вижу ос-
новной интерес книги Лебега».
      Мы используем из этого же предисловия ещё два отрывка, которые
не утратили своего значения и в наши дни.
      «Особенно остро стоит вопрос о понятии площади поверхности. В
элементарной геометрии, кроме площадей цилиндра и конуса, для которых
общая проблема может быть обойдена развёртыванием на плоскость, «вы-
числяется» площадь поверхности шара. Вычисление это, однако, не имеет
определенного смысла пока само понятие площади поверхности не опре-
делено. Далеко не всем известно, что дело вовсе не в затруднительности
привести такое определение в школьном учебнике, а в том, что корректное
элементарно-геометрическое определение площади поверхности, при-
годное хотя бы в простейших случаях, вообще было найдено к концу
XIX века и излагается лишь в специальных мемуарах. В учебниках
анализа и дифференциальной геометрии площадь поверхности определя-
ется как интеграл:
                         S = ∫∫ 1 + p 2 + q 2 dxdy .


                                    473