Устойчивое развитие: Научные основы проектирования в системе природа-общество-человек. Кузнецов О.Л - 593 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУПОЧ «Дубна» | Дубна

Составители: 

Рубрика: 

593
3. Обращенный степенной ряд
I. Для демонстрации операций с 3-матрицами рассмотрим три члена
приведенного выше ряда, заменяя у на е и х на i:
e
α
= B
αβ
i
β
+ C
αβγ
i
β
i
γ
+ … (47)
Предположим, что компоненты B
αβ
и C
αβγ
известны, так же как ком-
поненты e
α
(которые представляют, например, приложенные напряжения в
нелинейной системе). Задача состоит в разрешении этого уравнения отно-
сительно неизвестного i
α
, т. е. нужно выразить i
α
как функцию от B
αβ
и C
αβγ
и e
α
.
Неизвестную i
β
можно выразить через e
α
с помощью степенного ряда
(называемого «обращенным» рядом):
i
β
= K
βε
e
ε
+ M
βεσ
e
ε
e
σ
+ … (48)
где коэффициенты K
βε
и M
βεσ
являются неизвестными функциями введен-
ных ранее известных коэффициентов B
αβ
и C
αβγ
. Задача состоит в том, что-
бы выразить К и М в виде явной функции от В и С.
II. Следуя постулату первого обобщения, решим сначала эту задачу
для обычной скалярной величины. Другими словами, решим сначала сле-
дующую задачу: дано разложение в степенной ряд
e = B·i + C·i
2
+ …, (49)
надо найти неизвестную i, т.е. в обращенном ряде
i = Ke + Me
2
+ … (50)
выразить неизвестные К и М как явную функцию от известных В и С. По-
рядок действий состоит из следующих этапов:
1) Подставить второе уравнение в первое:
e = B(Ke + Me
2
) + C(Ke + Me
2
)
2
+ …. (51)
Поскольку мы будем пренебрегать всеми членами, в которых сте-
пень больше двух, то уравнение приводится к виду
e = BKe + BMe
2
+ CK
2
e
2
+ …, (52)
e = BKe + (BM + CK
2
)e
2
+ …. (53)
2) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, т. е. при е
и е
2
с каждой стороны уравнения, получим
1 = BK, (54)
0 = BM + CK
2
. (55)
3) Решаем эти два уравнения относительно неизвестных К и М:
K = B
–1
(56)
M = – C(B
–1
)
3
= – CK
–3
(57)
4) Таким образом, значение i через е, В, С выражается следующим
способом: 
                   3. Обращенный степенной ряд

      I. Для демонстрации операций с 3-матрицами рассмотрим три члена
приведенного выше ряда, заменяя у на е и х на i:
                        eα = Bαβiβ + Cαβγiβiγ + …                      (47)
      Предположим, что компоненты Bαβ и Cαβγ известны, так же как ком-
поненты eα (которые представляют, например, приложенные напряжения в
нелинейной системе). Задача состоит в разрешении этого уравнения отно-
сительно неизвестного iα, т. е. нужно выразить iα как функцию от Bαβ и Cαβγ
и eα.
      Неизвестную iβ можно выразить через eα с помощью степенного ряда
(называемого «обращенным» рядом):
                        iβ = Kβεeε + Mβεσeεeσ + …                      (48)
где коэффициенты Kβε и Mβεσ являются неизвестными функциями введен-
ных ранее известных коэффициентов Bαβ и Cαβγ. Задача состоит в том, что-
бы выразить К и М в виде явной функции от В и С.
      II. Следуя постулату первого обобщения, решим сначала эту задачу
для обычной скалярной величины. Другими словами, решим сначала сле-
дующую задачу: дано разложение в степенной ряд
                               e = B·i + C·i2 + …,                     (49)
надо найти неизвестную i, т.е. в обращенном ряде
                               i = Ke + Me2 + …                        (50)
выразить неизвестные К и М как явную функцию от известных В и С. По-
рядок действий состоит из следующих этапов:
      1) Подставить второе уравнение в первое:
                     e = B(Ke + Me2) + C(Ke + Me2)2 + ….              (51)
      Поскольку мы будем пренебрегать всеми членами, в которых сте-
пень больше двух, то уравнение приводится к виду
                        e = BKe + BMe2 + CK2e2 + …,                    (52)
                                               2 2
                        e = BKe + (BM + CK )e + ….                     (53)
      2) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, т. е. при е
   2
и е с каждой стороны уравнения, получим
                                     1 = BK,                           (54)
                                                2
                                  0 = BM + CK .                        (55)
      3) Решаем эти два уравнения относительно неизвестных К и М:
                                     K = B–1                           (56)
                                          –1 3     –3
                               M = – C(B ) = – CK                      (57)
      4) Таким образом, значение i через е, В, С выражается следующим
способом:
                                     593

Страницы