Устойчивое развитие: Научные основы проектирования в системе природа-общество-человек. Кузнецов О.Л - 594 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУПОЧ «Дубна» | Дубна

Составители: 

Рубрика: 

594
i = B
–1
e – C(B
–1
)
3
e
2
(58)
или
i = Ke – CK
3
e
2
, (59)
где K = B
–1
.
III. Тот же самый порядок с теми же этапами мы повторяем, заменяя
каждую величину n-матрицей.
1. Подставим значение i
β
из уравнения (48) в уравнение (47):
e
α
= B
αβ
(K
βε
e
ε
+ M
βεσ
e
ε
e
σ
) + C
αβγ
(K
βε
e
ε
+ M
βεσ
e
ε
e
σ
)(K
γω
e
ω
+ M
γωπ
e
ω
e
π
). (60)
Следует заметить, что в процессе этой подстановки свободный ин-
декс обозначен сначала как β, затем как γ. Аналогично в последнем случае,
чтобы избежать путаницы при подстановке (i
β
два раза подряд, замена не-
мых индексов сделана следующим образом:
i
γ
= K
γω
e
ω
+ M
γωπ
e
ω
e
π
(61)
Пренебрегая степенями e
ε
выше второй, приходим к уравнению
e
α
= B
αβ
K
βε
e
ε
+ B
αβ
M
βεσ
e
ε
e
σ
+ C
αβγ
K
βε
K
γω
e
ε
e
ω
. (62)
Выносим за скобку е
ε
e
σ
:
e
α
= B
αβ
K
βε
e
ε
+ (B
αβ
M
βεσ
+ C
αβγ
K
βε
K
γσ
)e
ε
e
σ
. (63)
2. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях e
ε
и е
ε
e
σ
в
обеих частях уравнения (представляем e
α
в виде e
ε
I
εα
, где I
εα
− единичная
матрица):
I
εα
= B
αβ
K
βε
; (64)
0 = B
αδ
M
δεσ
+ C
αβγ
K
βε
K
γσ
. (65)
3. Решаем эти два уравнения относительно неизвестных K
αβ
и M
αβγ
:
K
βε
= I
εα
(B
αβ
)
–1
= (B
εβ
)
–1
, (66)
M
δεσ
= – (C
αβγ
K
βε
K
γα
)(B
αδ
)
–1
= – C
αβγ
K
δα
K
βε
K
γσ
. (67)
Эти матричные уравнения такие же, как и соответствующие им
обычные уравнения (56) и (57). Таким образом, матрица K
αβ
находится
обращением матрицы B
αβ
, а 3-матрица М
αβγ
находится умножением 3-
матрицы C
αβγ
на матрицу K
αβ
три раза подряд в порядке, указываемом
индексами, и полученный результат берется с отрицательным знаком.
Поскольку (B
αβ
)
−1
= K
βα
, т. е. при обращении матрицы порядок индек-
сов изменяется, три матрицы K
αβ
в последнем выражении имеют свобод-
ный индекс на разных позициях. Таким образом, в K
δα
свободным индек-
сом является первый индекс, в то время как в K
βε
и K
γσ
— вторые индексы.
4. Следовательно, значение i
α
как функции от B
αβ
и C
αβγ
таково:
i
α
= K
αβ
e
β
– C
γδε
K
αγ
K
δπ
K
εσ
e
π
e
σ
, (68)
где K
αβ
= (B
βα
)
–1
.
Нужно заметить, что без применения понятия n-матрицы процедура
обращения системы уравнений, выраженных степенными рядами, является 
                               i = B–1e – C(B–1)3e2                       (58)
или
                               i = Ke – CK3e2,                            (59)
         –1
где K = B .
      III. Тот же самый порядок с теми же этапами мы повторяем, заменяя
каждую величину n-матрицей.
      1. Подставим значение iβ из уравнения (48) в уравнение (47):
    eα = Bαβ(Kβεeε + Mβεσeεeσ) + Cαβγ(Kβεeε + Mβεσeεeσ)(Kγωeω + Mγωπeωeπ). (60)
      Следует заметить, что в процессе этой подстановки свободный ин-
декс обозначен сначала как β, затем как γ. Аналогично в последнем случае,
чтобы избежать путаницы при подстановке (iβ два раза подряд, замена не-
мых индексов сделана следующим образом:
                                 iγ = Kγωeω + Mγωπeωeπ                     (61)
      Пренебрегая степенями eε выше второй, приходим к уравнению
                    eα = BαβKβεeε + BαβMβεσeεeσ + CαβγKβεKγωeεeω.          (62)
      Выносим за скобку еεeσ:
                    eα = BαβKβεeε + (BαβMβεσ + CαβγKβεKγσ)eεeσ.            (63)
      2. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях eε и еεeσ в
обеих частях уравнения (представляем eα в виде eεIεα, где Iεα − единичная
матрица):
                                 Iεα = BαβKβε;                             (64)
                          0 = BαδMδεσ + CαβγKβεKγσ.                        (65)
      3. Решаем эти два уравнения относительно неизвестных Kαβ и Mαβγ:
                           Kβε = Iεα(Bαβ)–1 = (Bεβ)–1,                     (66)
                                        –1
             Mδεσ = – (CαβγKβεKγα)(Bαδ) = – CαβγKδαKβεKγσ.                 (67)
      Эти матричные уравнения такие же, как и соответствующие им
обычные уравнения (56) и (57). Таким образом, матрица Kαβ находится
обращением матрицы Bαβ, а 3-матрица Мαβγ находится умножением 3-
матрицы Cαβγ на матрицу Kαβ три раза подряд в порядке, указываемом
индексами, и полученный результат берется с отрицательным знаком.
      Поскольку (Bαβ)−1 = Kβα, т. е. при обращении матрицы порядок индек-
сов изменяется, три матрицы Kαβ в последнем выражении имеют свобод-
ный индекс на разных позициях. Таким образом, в Kδα свободным индек-
сом является первый индекс, в то время как в Kβε и Kγσ — вторые индексы.
      4. Следовательно, значение iα как функции от Bαβ и Cαβγ таково:
                          iα = Kαβeβ – CγδεKαγKδπKεσeπeσ,                  (68)
               –1
где Kαβ = (Bβα) .
      Нужно заметить, что без применения понятия n-матрицы процедура
обращения системы уравнений, выраженных степенными рядами, является
                                       594

Страницы