Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

10
непрерывны на [a, b]. Если любая прямая, параллельная координатной оси
Оу и проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает границу
области в двух точках: N
1
и N
2
(рис.1), то такую область назовем
правильной в направлении оси Оу. Аналогично определяется область,
правильная в направлении оси Ох. Область, правильную в направлении
обеих координатных осей, будем называть просто правильной. Например,
правильная область изображена на рис.3.
Пусть функция f(x, y) непрерывна в области D. Рассмотрим
выражение
2
1
()
()
(, )
bx
D
ax
I
fxydydx
j
j
жц
ч
з
ч
з
=
ч
з
ч
з
ч
з
иш
тт
, (14)
называемое
двукратным интегралом от функции f(x, y) по области D.
Вычислим вначале внутренний интеграл (стоящий в скобках) по
переменной у, считая х постоянным. В результате получится непрерывная
функция от х:
Рис.3
2
1
()
()
() (,) .
x
x
x
fxydy
j
j
F=
т
Полученную функцию проинтегрируем по х в пределах от а до b. В
результате получим число
() .
b
D
a
I
xdx=F
т
непрерывны на [a, b]. Если любая прямая, параллельная координатной оси
Оу и проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает границу
области в двух точках: N1 и N2 (рис.1), то такую область назовем
правильной в направлении оси Оу. Аналогично определяется область,
правильная в направлении оси Ох. Область, правильную в направлении
обеих координатных осей, будем называть просто правильной. Например,
правильная область изображена на рис.3.
     Пусть функция        f(x, y) непрерывна в области D. Рассмотрим
выражение
                              жj 2 ( x )
                              b                ц
                                               ч
                              зз
                     ID   = т з т f (x , y )dy ч
                                               ч
                                               чdx ,                (14)
                               ззи             ч
                                               ш
                            a j 1( x )

называемое двукратным интегралом от функции f(x, y) по области D.
     Вычислим вначале внутренний интеграл (стоящий в скобках) по
переменной у, считая х постоянным. В результате получится непрерывная
функция от х:




                                                Рис.3


                                     j 2(x )
                          F (x ) =       т      f (x , y )dy .
                                     j 1( x )

     Полученную функцию проинтегрируем по х в пределах от а до b. В
                                     b
результате получим число I D =       т F (x )dx .
                                     a


                                             10

Страницы