Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 9 стр.

Геометрический смысл двойного интеграла


      Рассмотрим тело V, ограниченное частью поверхности, задаваемой
уравнением z = f(x, y), проекцией D этой поверхности на плоскость Оху и
боковой цилиндрической поверхностью, полученной из вертикальных
образующих, соединяющих точки границы поверхности с их проекциями.




                                            Рис. 2


      Будем искать объем этого тела как предел суммы объемов
цилиндров, основаниями которых являются части ΔSi                       области D, а
высотами – отрезки длиной f(Pi), где точки Pi принадлежат ΔSi. Переходя к
пределу при max D S i ® 0 , получим, что

                         V =    тт f (x , y )dxdy,                      (13)
                                 D

то есть двойной интеграл представляет собой объем так называемого
цилиндроида, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), а снизу –
областью D.



2. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
путем сведения его к повторному
      Рассмотрим            область         D,        ограниченную             линиями

y = j 1(x ), y = j 2 (x ) (j 1(x ) Ј j 2 (x )), x = a, x = b ( a < b ), где φ1(х) и φ2(х)

                                           9