Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 8 стр.

      Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная
замкнутой    поверхностью         S.   Зададим     в      этой    замкнутой   области
непрерывную функцию           f(x, y, z). Затем разобьем область V на
произвольные части Δvi , считая объем каждой части равным Δvi , и
составим интегральную сумму вида

                              е    f (Pi )D vi ,                                (11)
                              V

      где точка Pi принадлежит Δvi . Пусть ρ – наибольшее расстояние
между двумя точками любой части области V. Найдем предел
интегральной суммы при неограниченном увеличении числа элементов
разбиения и при условии, что каждый элементарный объем Δvi стягивается
в точку, т.е. максимальный диаметр каждой подобласти стремится к нулю.


      Определение 3.       Предел при r ® 0 интегральных сумм (11), не
зависящий от способа разбиения области V и выбора точек Pi в каждой
подобласти этой области, называется тройным интегралом от функции
f(x, y, z) по области V:



                     ттт f (x , y, z )dxdydz =     lim
                                                   r® 0
                                                          е   f (Pi )D vi      (12)
                       V                                  V

      Замечание 1. Условие непрерывности подынтегральной функции не
является обязательным для существования кратного (двойного, тройного и
т.д.) интеграла, но исследование вопросов, связанных с интегрированием
разрывных функций, выходит за рамки нашего пособия.
      Замечание 2. Все сформулированные ранее свойства двойного
интеграла можно распространить на тройной интеграл.
      Замечание 3. Подобным образом можно дать определение интеграла
любой кратности, рассматривая функцию п переменных, заданную в
замкнутой области п-мерного пространства.



                                           8