Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

6
Свойства двойных интегралов
Часть свойств двойных интегралов непосредственно вытекает из
определения этого понятия и свойств интегральных сумм, а именно:
1.
Если функция f(x, y) интегрируема в D, то kf(x, y), где k = const,
тоже интегрируема в этой области, причем
(, ) (, ) .
DD
kfxydxdy k fxydxdy=
тт тт
(4)
2.
Если в области D интегрируемы функции f(x, y) и g(x, y), то в
этой области интегрируемы и функции f(x, y) ± g(x, y), и при этом
()
(, ) (, ) (, ) (, ) .
DDD
f
xy gxy dxdy f xydxdy gxydxdy±= ±
тт тт тт
(5)
3. Если для интегрируемых в области D функций f(x, y) и g(x, y)
выполняется неравенство f(x, y) ≤ g(x, y) , то
(, ) (, ) .
DD
f
xydxdy gxydxdyЈ
тт тт
(6)
Докажем еще несколько свойств двойного интеграла:
4. Если область D разбита на две области D
1
и D
2
без общих
внутренних точек и функция f(x, y) непрерывна в области D, то
12
(, ) (, ) (, ) .
DDD
f
x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy=+
тт тт тт
(7)
Доказательство.
Интегральную сумму по области D можно представить в виде:
12
() () () ,
ii ii ii
DDD
f
PS fPS fPSD= D+ D
еее
где разбиение области D проведено так, что граница между D
1
и D
2
состоит
из границ частей разбиения. Переходя затем к пределу при max 0
i
d ®,
получим равенство (7).
5. В случае интегрируемости на D функции f(x, y) в этой области
интегрируема и функция | f(x, y) |, и имеет место неравенство 
Свойства двойных интегралов
     Часть свойств двойных интегралов непосредственно вытекает из
определения этого понятия и свойств интегральных сумм, а именно:
     1.        Если функция f(x, y) интегрируема в D, то kf(x, y), где k = const,
тоже интегрируема в этой области, причем

                             тт kf (x , y )dxdy = k тт f (x , y )dxdy .                               (4)
                               D                            D

     2.        Если в области D интегрируемы функции f(x, y) и g(x, y), то в
этой области интегрируемы и функции f(x, y) ± g(x, y), и при этом

          тт (f (x , y ) ±     g(x , y ) )dxdy =       тт f (x , y )dxdy ± тт g(x , y )dxdy .         (5)
           D                                            D                       D

     3. Если для интегрируемых в области D функций                                       f(x, y) и g(x, y)
выполняется неравенство             f(x, y) ≤ g(x, y) , то

                         тт f (x , y )dxdy Ј тт g(x , y )dxdy .                                     (6)
                           D                            D



     Докажем еще несколько свойств двойного интеграла:
     4. Если область D разбита на две области D1 и D2 без общих
внутренних точек и функция f(x, y) непрерывна в области D, то

                тт f (x , y )dxdy = тт f (x , y )dxdy + тт f (x , y )dxdy .                          (7)
                 D                        D1                       D2

Доказательство.
Интегральную сумму по области D можно представить в виде:

                     е   f (Pi )D S i =   е     f (Pi )D S i +   е      f (Pi )D S i ,
                     D                     D1                     D2

где разбиение области D проведено так, что граница между D1 и D2 состоит
из границ частей разбиения. Переходя затем к пределу при max di ® 0 ,
получим равенство (7).
     5. В случае интегрируемости на D функции f(x, y) в этой области
интегрируема и функция | f(x, y) |, и имеет место неравенство


                                                   6

Страницы