Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 5 стр.

     Замечание. С геометрической точки зрения (при                        f (x , y ) і 0 )
интегральная сумма (1) представляет собой сумму объемов цилиндров с
основаниями ΔSi и высотами f(Pi).


     Определение 2. Если существует один и тот же предел интегральных
сумм (1) при n ® Ґ         и max di ® 0 , не зависящий ни от способа
разбиения области D на части, ни от выбора точек Pi в них, то он
называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и
обозначается
                                                   n

               тт f (x , y )dxdy =       lim
                                     max di ® 0
                                                  е      f (Pi )D S i .             (2)
                D                                 i= 1

     В этом случае функция f (x,y) называется интегрируемой в области
D, область D –      областью интегрирования, х и у – переменны-ми
интегрирования, dxdy = dS – элементом площади.


     Замечание 1. Для выяснения вопроса об условиях интегрируемости
функции двух переменных можно по аналогии со случаем определенного
интеграла ввести понятие верхней и нижней интегральных сумм, выбирая
в каждой части области D точки, значение функции в которых является
наибольшим и наименьшим для данной части. Тогда можно доказать, что
необходимым и достаточным условием интегрируемости функции f(x, y)
является, во-первых, ее ограниченность на D, а во-вторых, условие
                              lim (S t - s t ) = 0,                                 (3)
                            max di ® 0

где τ – некоторое разбиение, а Sτ и sτ – соответственно верхняя и нижняя
интегральные суммы. Доказательство этого утверждения проводится так
же, как для случая определенного интеграла.
     Замечание 2. Аналогично одномерному случаю можно доказать еще
одно утверждение: если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области
D, то она интегрируема по этой области.

                                           5