Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

7
(, ) | (, )| .
DD
f
x y dxdy f x y dxdyЈ
тт тт
(8)
Доказательство.
() |()| ,
ii i i
DD
f
PS fP SD Ј D
ее
откуда с помощью предельного перехода
при max 0
i
d ® получаем неравенство (8).
6. ,
D
D
dxdy S=
тт
где S
D
– площадь области D. Доказательство этого
утверждения получим, подставляя в интегральную сумму f(x, y) ≡ 1.
7. Если интегрируемая в области D функция f(x, y) удовлетворяет
неравенству
m ≤ f(x, y) ≤ M,
то ( , ) .
DD
D
mS f x y dxdy MSЈЈ
тт
(9)
Доказательство проводится предельным переходом из очевидного
неравенства
() .
DiiD
D
mS f P S MSЈ D Ј
е
8 (
Теорема о среднем). Если функция f (х,у) непрерывна в
замкнутой области D, то в этой области существует такая точка М(х
0
, у
0
),
что
00
1
(, ) ( , )
D
D
f
xydxdy fx y
S
=
тт
, (10)
или, что то же самое,
( , ) , .
D
D
f
x y dxdy S m Mmm= ЈЈ
тт
(10’)
Это выражение легко получить, разделив обе части неравенства (9) на S
D
.
Тройной интеграл
Понятие тройного (а в дальнейшем – т-мерного) интеграла вводится
по аналогии с двойным интегралом. 
                                 тт f (x , y )dxdy   Ј     тт | f (x , y ) | dxdy .               (8)
                                  D                         D

Доказательство.

е     f (Pi )D S i Ј    е   | f (Pi ) | D S i , откуда с помощью предельного перехода
 D                      D

при max di ® 0 получаем неравенство (8).

        6.   тт dxdy =          S D , где SD – площадь области D. Доказательство этого
             D

утверждения получим, подставляя в интегральную сумму f(x, y) ≡ 1.
        7. Если интегрируемая в области D функция f(x, y) удовлетворяет
неравенству
                                     m ≤ f(x, y) ≤ M,

то                     mS D Ј        тт f (x , y )dxdy Ј    MS D .                                (9)
                                      D

Доказательство          проводится            предельным            переходом         из   очевидного
неравенства mS D Ј               е     f (Pi )D S i Ј MS D .
                                  D

        8 (Теорема о среднем). Если функция                                     f (х,у) непрерывна в
замкнутой области D, то в этой области существует такая точка М(х0 , у0),
что
                                 1
                                SD    тт f (x , y )dxdy =    f (x 0 , y 0 ) ,                   (10)
                                       D

или, что то же самое,

                        тт f (x , y )dxdy =        mS D , m Ј m Ј M .                           (10’)
                            D

Это выражение легко получить, разделив обе части неравенства (9) на SD.



Тройной интеграл
        Понятие тройного (а в дальнейшем – т-мерного) интеграла вводится
по аналогии с двойным интегралом.

                                                     7

Страницы