Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

11
Докажем важное свойство двукратного интеграла.
Теорема 1. Если область D, правильная в направлении Оу, разбита на
две подобласти D
1
и D
2
прямой, параллельной оси Оу или оси Ох, то
двукратный интеграл по области D будет равен сумме таких же интегралов
по областям D
1
и D
2
:
12
DD D
I
II= + . (15)
Доказательство.
а) Пусть прямая х = с разбивает D на D
1
и D
2
, правильные в
направлении Оу. Тогда
2
1
()
()
(, ) () () ()
bx b c b
D
ax a a c
I
f x y dy dx x dx x dx x dx
j
j
жц
ч
з
ч
з
= =F=F+F=
ч
з
ч
з
ч
з
иш
тт т т т
2
1
()
()
(, )
cx
ax
f
xydy dx
j
j
жц
ч
з
ч
з
ч
з
ч
з
ч
з
иш
тт
+
2
12
1
()
()
(, ) .
bx
DD
cx
f
x y dy dx I I
j
j
жц
ч
з
ч
з
=+
ч
з
ч
з
ч
з
иш
тт
б) Пусть прямая y = h разбивает D на правильные в направлении Оу
области D
1
и D
2
(рис.2). Обозначим через M
1
(a
1
, h) и M
2
(b
1
, h) точки
пересечения прямой y = h с границей L области D.
Рис.4.
Область D
1
ограничена непрерывными линиями
1) y = φ
1
(x); 
      Докажем важное свойство двукратного интеграла.
      Теорема 1. Если область D, правильная в направлении Оу, разбита на
две подобласти D1 и D2 прямой, параллельной оси Оу или оси Ох, то
двукратный интеграл по области D будет равен сумме таких же интегралов
по областям D1 и D2:
                                    I D = I D1 + I D2 .                                   (15)
Доказательство.
      а) Пусть прямая х = с разбивает D на D1 и D2 , правильные в
направлении Оу. Тогда
               b   жj 2 ( x )          ц
                                       ч
                                               b               c           b
                   зз
         I D = т з т f (x , y )dy ч    ч
                                       ч dx = т F (x )dx = т F (x )dx +    т F (x )dx =
                    ззи                ч
                                       ш
                a j 1( x )                     a               a           c
c жj 2 ( x )            ц     b жj 2 ( x )        ц
    зз                  ч       зз                ч
т ззз т f (x , y )dy чччdx + т ззз т f (x , y )dy ччччdx = I D1 + I D2 .
                        ч
a иj 1( x )             ш     c иj 1( x )         ш
      б) Пусть прямая y = h разбивает D на правильные в направлении Оу
области D1 и D2 (рис.2). Обозначим через M1 (a1, h) и M2 (b1, h) точки
пересечения прямой y = h с границей L области D.




                                              Рис.4.


       Область D1 ограничена непрерывными линиями
      1) y = φ1(x);



                                             11

Страницы