Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 13 стр.

      Замечание 1. Используя теорему 1 и теоремы о среднем для
определенного интеграла, можно доказать, что для двукратного интеграла
справедливы соотношения:
                                   жj 2 ( x )
                                     b              ц
                                                    ч
                                   зз
                            mS Ј т з т f (x , y )dy ч
                                                    ч
                                                    чdx Ј MS ,                                     (16)
                                    ззи             ч
                                                    ш
                                 a j 1( x )

где т и М – соответственно наименьшее и наибольшее значение функции
f(x, y) в области D, а S – площадь этой области, и
                                   ID = f(P)S,                                                     (17)
где Р – точка, принадлежащая области D .


      Замечание 2. Более употребительной формой записи двукратного
интеграла является
               b   жj 2 (x )        ц  ч
                                                 b   j 2(x )
                   зз
               т ззз т f (x , y )dy ччччdx =   т dx т           f (x , y )dy .                    (18)
               a иj 1( x )          ш            a   j 1( x )

      Теорема 2. Двойной интеграл от непрерывной функции f(x, y) по
правильной области D равен двукратному интегралу от этой функции по
данной области, то есть
                                           bжj 2 (x )        ц
                                                             ч
                                            зз
               тт        f (x , y )dxdy = т з т f (x , y )dy ч
                                                             ч
                                                             чdx .                                 (19)
                                             ззи             ч
                                                             ш
                   D                      a j 1( x )

Доказательство.
      Разобьем область D прямыми, параллельными координатным осям,
на п правильных (в основном прямоугольных) областей ΔS1, ΔS2,…, ΔSn.
Тогда по теореме 1
                                                                           n
                       I D = I D S 1 + I D S 2 + ... + I D S n =        е      I DSi .
                                                                        i= 1
                                                                        n
      Из (16) получим: I D S i = f (Pi )D S i , I D =                  е       f (Pi )D S i , где справа
                                                                       i= 1

стоит интегральная сумма, предел которой равен двойному интегралу от f


                                               13