Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

14
по области D, а слева – постоянное число I
D
. Переходя к пределу при
max 0
i
SD®, получим равенство (19).
Пример 1.
Вычислим двойной интеграл от функции z = x + y по области,
представляющей собой треугольник с вершинами в точках (0,0), (0,1) и
(1,0) (рис.5).
Рис. 5
Здесь а = 0, b = 1, φ
1
(x) = 0, φ
2
(x) = 1 – x.
Тогда
11
00
() ()
x
D
x
ydxdy dx x ydy
-
+= +=
тт т т
11
2
2
00
1
(1 )
((1)
0
22
x
x
y
dx xy x x dx
-
жц
жц
-
ч
з
ч
з
ч
=+ =-+ =
з
ч
з
ч
з
ч
з
ч
з
иш
иш
тт
1
3
2
0
1
111
(1 ) .
0
2233
x
xdx x=-=- =
жц
ч
з
ч
з
ч
з
иш
т
3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Введем на плоскости криволинейную систему координат,
называемую
полярной. Она состоит из точки О (полюса) и выходящего из
него луча (полярной оси). 
по области D, а слева – постоянное число ID . Переходя к пределу при
max D S i ® 0 , получим равенство (19).
      Пример 1.
      Вычислим двойной интеграл от функции z = x + y по области,
представляющей собой треугольник с вершинами в точках (0,0), (0,1) и
(1,0) (рис.5).




                                                  Рис. 5

       Здесь а = 0, b = 1, φ1(x) = 0, φ2(x) = 1 – x.

                                        1       1- x
      Тогда       тт (x +   y )dxdy =   т dx т         (x + y )dy =
                  D                     0        0
          1                                 1
               ж       y2 1 - x ц
                                ч               ж                      2ц
                                               зз x (1 - x ) + (1 - x ) ч
      = т dx ззз (xy +          ч=
                                ч           т зи                        чdx =
                                                                        ч
               з
               и       2     0  ч
                                ш                                  2    ш
        0                                   0
         1
       1              1ж     x3 ц 1   1
                2      з
      = т (1 - x )dx = з x -    ч
       2              2и     3 шч 0 3.
                                ч   =
              0




3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
      Введем          на    плоскости       криволинейную             систему   координат,
называемую полярной. Она состоит из точки О (полюса) и выходящего из
него луча (полярной оси).




                                                14

Страницы