Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 16 стр.

             Зададим в области D, ограниченной кривыми ρ=Φ1 (φ) и ρ=Φ2 (φ),
где φ1 < φ < φ2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) . Разобьем область D на
части ΔSik , ограниченные лучами ρ = ρi-1 и ρ = ρi , выходящими из полюса,
и дугами окружностей φ = φk-1 и φ = φk с центром в полюсе, и составим
                                                n
интегральную сумму V n =                        е (е            f (Pik )D S ik ) , где Pik – произвольная
                                                k=1   i

точка, принадлежащая ΔSik . Найдем площадь части ΔSik , не пересекаемой
границей области, как разность площадей двух секторов:




                                                                Рис. 8



D S ik =
               1
               2
                 ( r i + D r i )2 D j   k   -
                                                1 2
                                                 r Dj
                                                2 i         k        (
                                                                    = ri +
                                                                             Dri
                                                                              2  )
                                                                                 DriDj   k   = r i*D r i D j k ,

                               Dri
где r i < r i* < r i +             . Учитывая, что площади частей, пересекаемых
                                2
границей области, стремятся к нулю при D j                               k   ® 0 и D r i ® 0 , получим:
                                                                n
                                                              ж                         ц
                                                                                        чD j
                                                              з
                                                 Dri ® 0 е з
                                                              зе
                                                                        *     * *
тт       f ( r , j )d r d j = lim V n =
                            Dri ® 0
                                                    lim
                                                         k = 1и i
                                                                  f ( r i , j  )
                                                                              k ir D r iч
                                                                                        ч
                                                                                        ш
                                                                                               k   =
 D
                            Dj k ® 0             Dj k ® 0

     жF 2 (j )
     j   2               ц
                         ч
     зз
= т з т f ( r , j )r d r ч
                         ч
                         чdj .                                                                          (20)
      ззи                ч
                         ш
  j 1 F 1(j )




              Пример 2.
             Выведем с использованием двойного интеграла формулу для
площади круга радиуса R с центром в начале координат:


                                                            16