Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 15 стр.

               Рис. 6                             Рис. 7


     Координатами точки М в этой системе (рис. 6) будут длина отрезка
МО – полярный радиус ρ и угол φ между МО и полярной осью: М(ρ,φ).
Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, ρ > 0, а полярный
угол φ будем считать положительным при измерении его в направлении
против   часовой   стрелки    и   отрицательным   –   при   измерении   в
противоположном направлении.


     Замечание. Если ограничить значения φ интервалом [0,2π] или [-π,
π], то каждой точке плоскости соответствует единственная пара координат
(ρ,φ). В других случаях можно считать, что φ может принимать любые
значения, то есть полярный угол определяется с точностью до слагаемого,
кратного 2π.


     Связь между полярными и декартовыми координатами точки М
можно задать, если совместить начало декартовой системы координат с
полюсом, а положительную полуось Ох – с полярной осью (рис. 7). Тогда
                                                y
x=ρcosφ, у=ρsinφ . Отсюда r = x 2 + y 2 , tg j = .
                                                x
     Правильной областью в полярных координатах назовем такую
область, границу которой каждый луч, выходящий из полюса, пересекает
не более чем в двух точках (рис.8).

                                      15