Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 17 стр.

                       2p           R               2p                                    2p
                                                        жr 2 R ц
                                                               ч   R2                             R2
                                                        з
тт d r dj         =    т dj т            r d r = т d j зз
                                                        з
                                                        и 2 0ш
                                                               ч
                                                               ч
                                                               ч
                                                                 =
                                                                   2                      т d j = 2 2p = p R 2 .
    D                  0            0            0                                        0



          Пример 3.
          Вычислим, используя полярные координаты, двойной интеграл

                                            I =     тт (2x +             y 3 )dxdy ,
                                                      D

где D – часть кругового сектора единичного радиуса с центром в начале
координат, расположенная в 1-м квадранте.
                                                   м
                                                   п x = r cos j
                                                   п
          Заданный интеграл в полярных координатах н                                                                по
                                                   п
                                                   п y = r sin j
                                                   о
                      м
                      п 0Ј r Ј 1
                      п
                      п
указанной области D : н         p имеет вид:
                      п
                      п 0 Ј j Ј
                      п
                      о         2
         p                                                                 p
         2         1                                                       2
                                                                                          1
                                              3          3                          2 3
I =      т dj т (2r cos j                 + r sin j )r d r = т
                                                                                    3
                                                                                      r        cos j d j -
          0        0                                                        0
                                                                                          0
    p                                                            p             p
    2
              1                                                  2             2
         r5                                         2                     1
-   т             sin 2 j Чsin j d j =                sin j          -      т (1 - cos2 j )d cos j =
         5                                          3                     5
    0                                                                           0
              0                                                  0
                            p                         p
                            2                         2
        2 1                              1                       2 1  1   4
=        - cos j                +          cos3 j            =    + -   =
        3 5                             15                       3 5 15   5
                            0                         0



4. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
          Процедура                       вычисления                 тройного                    интеграла   аналогична
соответствующей операции для двойного интеграла. Для ее описания
введем понятие правильной трехмерной области:

                                                                     17