Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

19
Трехкратный интеграл обладает теми же свойствами, что и
двукратный. Перечислим их без доказательства, так как они доказываются
аналогично случаю двукратного интеграла.
1.
Если область V разбить на две области V
1
и V
2
плоскостью,
параллельной какой-либо из координатных плоскостей, то трехкратный
интеграл по области V равен сумме трехкратных интегралов по областям
V
1
и V
2
.
2.
Если т и М – соответственно наименьшее и наибольшее
значения функции f(x,y,z) в области V, то верно неравенство mV ≤ I
V
≤ MV,
где V – объем данной области, а I
V
– трехкратный интеграл от функции
f(x,y,z) по области V.
3.
Трехкратный интеграл I
V
от непрерывной функции f(x,y,z) по
области V равен произведению его объема V на значение функции в
некоторой точке Р области V (
теорема о среднем):
2
1
() (,)
() (,)
(,,) ( ) .
bxxy
V
axxy
I
f x y z dz dy dx f P V
jy
jc
жж цц
чч
зз
чч
зз
==
чч
зз
чч
зз
чч
зз
ии шш
тт т
(22)
Теорема 3. Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по правильной
области V равен трехкратному интегралу по той же области:
(,,)
V
f
xyzdv
ттт
2
1
() (,)
() (,)
(,,)
bxxy
axxy
f
xyzdz dy dx
jy
jc
жж цц
чч
зз
чч
зз
=
чч
зз
чч
зз
чч
зз
ии шш
тт т
. (23)
Доказательство.
Разобьем область V плоскостями, параллельными координатным
плоскостям, на п правильных областей
12
, ,...,
n
vv vDD D. Тогда из свойства
1 следует, что
12
...
n
Vvv v
I
II I
DD D
=+++, где
i
v
I
D
- трехкратный
интеграл от функции f(x,y,z) по области
i
vD.
Используя формулу (21), предыдущее равенство можно переписать в
виде:
11 22
() () ... ( )
Vnn
I
fP v fP v fP v=D+D++D. 
        Трехкратный интеграл обладает теми же свойствами, что и
двукратный. Перечислим их без доказательства, так как они доказываются
аналогично случаю двукратного интеграла.
        1.      Если область V разбить на две области V1 и V2 плоскостью,
параллельной какой-либо из координатных плоскостей, то трехкратный
интеграл по области V равен сумме трехкратных интегралов по областям
V1 и V2.
        2.      Если т и М – соответственно наименьшее и наибольшее
значения функции f(x,y,z) в области V, то верно неравенство mV ≤ IV ≤ MV,
где V – объем данной области, а IV – трехкратный интеграл от функции
f(x,y,z) по области V.
        3.      Трехкратный интеграл IV от непрерывной функции f(x,y,z) по
области V равен произведению его объема V на значение функции в
некоторой           точке      Р     области         V     (теорема        о      среднем):
                bжj 2 (x ) жy (x , y )    ц
                                          ч   ц
                                              ч
                 зз         зз            ч   ч
        IV   = т з т з т f (x , y , z )dz ч
                                          чdy ч
                                              чdx = f (P )V .                         (22)
                  зи         з            ч   ч
               a з j 1( x ) из c (x ,y )  ш ш


        Теорема 3. Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по правильной
области V равен трехкратному интегралу по той же области:
                                            b    жj 2 ( x ) жy ( x , y )  ц
                                                                          ч   ц
                                                                              ч
                                                 зз         зз            ч   ч
                     ттт    f (x , y , z )dv = т з т з т f (x , y , z )dz ч
                                                  зи         з            ч
                                                                          ч
                                                                           dy ч
                                                                              ч
                                                                              ч
                                                                               dx .   (23)
                      V                        a з j 1( x ) из c (x ,y )  ш ш
Доказательство.
        Разобьем область V плоскостями, параллельными координатным
плоскостям, на п правильных областей D v1, D v2 ,..., D vn . Тогда из свойства
1 следует, что          IV = I D v1 + I D v2 + ... + I D vn , где I D vi - трехкратный

интеграл от функции f(x,y,z) по области D vi .
        Используя формулу (21), предыдущее равенство можно переписать в
виде:
                       IV = f (P1 )D v1 + f (P2 )D v2 + ... + f (Pn )D vn .

                                                19

Страницы